Пространственная симметрия и оптические свойства твердых тел. Том 1 - Бирман Дж.
Скачать (прямая ссылка):
Dm (»> ({е, R[}) = Пт ехр _ ikx . xl (34 8)
Поэтому группа ®(k) может быть построена, как это и было сделано, на основании совершенно общих соображений. Однако из всех представлений группы ® (k) в ?>(**) <т> можно использовать только те представления, для которых выполняется равенство (34.8). Представления группы ®(k), удовлетворяющие условию (34.8), называются разрешенными или допустимыми.
Иногда может оказаться полезным рассмотреть факторгруппу или точечную группу волнового вектора
$ (ft) е= ®(А)/*, (34.9)
и при необходимости мы будем использовать это обозначение.
§ 35. Неприводимость допустимых представлений (m)
группы
Докажем, что допустимые представления D(ki)i-m) группы' © (4t) должны быть неприводимыми представлениями группы ©(4j). По предложению, представление /)(**) является неприводимым представлением группы ©, построенным на базисе неприводимого пространства [см. (32.11)].
92
Глава 5
Пространство 2(ft,)(m) является инвариантным и образует базис представления /)<*'> <т). Предположим, что 2(ft,)<m) может быть разложено на инвариантные подпространства, и, следовательно, разлагается на соответствующие неприводимые
по отношению к группе © (?]) составляющие, т. е.
?(*.) (т) = («»') ф 2<*’> <m">. (35.1)
?)(*,) (m) _ /)(*,) (т') 0 /)(*,) (m"). (35.2)
Пусть размерность пространства 2<*>)(т') равна 1т>, а размерность пространства 2(fti) равна /т", так что 1тг + 1т" = 1т-
Используя 1т’ функций пространства 2(ft')tm,), построим последовательность пространств аналогично (32.2), (32.5); получаем
S(*v) (mo _ ((т')'
2(*в) («о =, p{v^! te}2(*.)(»'). (35.4)
Таким образом, мы получаем объединенное пространство
= ®s(ftv)(m'>0 ... 02(fts)<m')> (35.5)
а также второе пространство
2(*‘)<'»’) = 2(‘i)'(m')0s(‘v),ra")® ... 0sMlm">. (35.6)
Поэтому
2(*а) (m) == 2(**) («') 0 S(**) («'). (35.7)
Повторяя теперь в обратном порядке рассуждения § 32, видим, что пространство 2^**) должно быть инвариантным относительно всех операций группы © и представляет собой базис представления /)(**) <т'>. Аналогичные утверждения справедливы для (т'> и ?>(**> <т">.
Таким образом, если 2(**^(т) приводимо [в соответствии с
(35.7)], то ?>(* '*)("*> также будет приводимым:
?)(**) <т) = ?)(**) <т')0?)(**) (лП. (35 8)
Но это противоречит предположению о неприводимости представления /)(**) ("*). Поэтому пространство 2^**)(т) не может быть разложено по типу (35.7). Следовательно, 2(А,) (т) должно быть неприводимым инвариантным пространством. Это доказывает, что допустимое представление D(k')(m) группы @(fti) должг но быть также и неприводимым.
Эти два требования допустимости (34.8) и неприводимости полностью определяют возникающие представления /)(*•> <т> группы ®(fti). Прежде чем рассмотреть методы нахождения
/
Неприводимые представления пространственных групп
93
представлений D(ftl)(m) покажем, что полное неприводимое представление ?)(**) <"*) группа © может быть построено по представлению ?)(*¦) (т) группы ®(&i).
§ 36. Представление группы
индуцированное представлением D{ki)(m> группы ®(&i)
В этом параграфе будет показано, что неприводимое представление полной пространственной группы © является представлением, индуцированным с помощью неприводимого представления D{k'! ('m) группы ®(k\) в ®. Таким образом, для определения представления D(**)(m> достаточно полностью знать представление
?)(М т\
Согласно (34.7), разложение группы ©(&) по группе ? имеет вид
©(*) = ?+{q^J г + ... +{«P/J\}2+ ••• +К|\}г-
(36.1)
Заметим, что мы сохраняем индекс I, чтобы всегда относить его к одному из Ik представителей смежных классов группы ©(&). Группа ©(&) является, очевидно, подгруппой полной пространственной группы ®. Поэтому разложение группы © на смежные классы по ®(k) можно записать в виде
© = ©(*) + ... + {фа| та} © (к) + ... + {<ps| ts} © (k). (36.2)
Мы всегда сохраняем индекс а, чтобы относить его к одному из представителей s смежных классов в (36.2); элемент {фо|то}, очевидно, входит в группу ©, но не в группу ®{k). Этот факт очевиден, но он оказывается очень важным при последующем изложении.
Предположим теперь, что мы располагаем полным набором из г допустимых неприводимых представлений пространственной группы ®{k). Эти представления мы будем обозначать
DW (»)| + *L}), т — I, ..., г. (36.3)
Заметим, что матрицы ?)(*нт) определены только для элементов группы ®{k). В (36.3) индекс т служит для обозначения одного из г допустимых неприводимых представлений группы ®(k); мы считаем, что матрицы D{k) (т) имеют порядок 1т. Используем теперь следующий прием [33]. Определим «матрицу с точкой» Х)(Ь) (т) ({фр соотношением
ГО, если X- не принадлежит © (k),
?><*> <»> (Z) = ] F (36.4)
^ D k> <m), если X принадлежит © (k).
94
Глава 5
В (36.4) X — элемент пространственной группы, а 0 — нулевая' матрица порядка 1т.
Как и раньше, запишем матрицу ?)(**>(т) ({Фр|тр}) в форме блочной матрицы, т. е. D^ ({фР I тР})ат> гДе индексы ст и т относятся соответственно ко всем строкам, имеющим одинаковый волновой вектор ka, и ко всем столбцам, имеющим одинаковый волновой вектор kx, где ka = фа • k и kx = фт • k. Сравнивая с (33.1), видим, что (m) ({фр \tp})ax пред-
