Пространственная симметрия и оптические свойства твердых тел. Том 1 - Бирман Дж.
Скачать (прямая ссылка):
DW ({е | Rj}) = exp - ik ¦ Rc (31.3)
и, согласно (30.5),
D(k) ({г | ф-i • Rl}) = exp - ik • (фГ« . RL) = D<**> ({e | RL}). (31.4)
Представления
D{k) и являются сопряженными (31.5)
представлениями группы X. Отметим, что элемент {в|/?/.} представляется такой же матрицей, построенной в пространстве
Неприводимые представления пространственных групп 85
согласно (30.12), что и сопряженный [в соответствии с (31.2)] элемент {е |ф-> • в пространстве 2(А).
Очевидно, поскольку представление Z)w неприводимо, то и D(kя,) неприводимо; последнее непосредственно следует из леммы Шура. Заметим, что с точки зрения подгруппы ?, рассмотренной выше, отображение элементов
(31.6)
является внешним автоморфизмом. С точки зрения группы ©
(31.6) показывает, что отображение внутреннее. Напомним, что математическое различие между внутренним и внешним автоморфизмом определяется тем, принадлежат (случай внутреннего автоморфизма) или не принадлежат (случай внешнего автоморфизма) элементы, с которыми производится сопоставление, совокупности, образующей группу [13].
§ 32. Характеристика ограниченных представлений
Вернемся теперь к (29.2) и к пространству представления 2(*М(т)_ рассмотрим подпространство представления (29.5), образованное первыми функциями, каждая из которых служит базисом представления Dikl) группы ?. Имеются две возможности: эти 1\ функций либо определяют пространство ^*k^m) полностью, либо нет. Если
{1\ раз), (32.1)
то набор волновых векторов ka состоит из единственного вектора
k\. Все h функций в (29.5) могут быть различными, но иметь
один и тот же волновой вектор ky. Если же пространство 2(**) <т> не исчерпывается первыми 1\ функциями, то эти 1\ функций не образуют инвариантное, или замкнутое, подпространство относительно всех операторов группы @. Тогда должен существовать оператор группы ©, такой, что
(32.2)
Согласно (30.12),
^|Ч}2(А1) = 2(л^, (32.3)
где
= 1 = К (32.4)
Тогда при действии каждая из 1\ функций переходит
в функцию с волновым вектором kih что дает в точности U
Й6
Г лава 5
функций пространства
s(fca)0s(fca)0 ... 0s(*iO (/, раз).
Эти 1\ функций линейно-независимы и являются линейно-независимыми по отношению к исходным 1\ функциям.
Теперь у нас имеется 21\ функций. Если и они не полностью исчерпывают инвариантное пространство 2(**) <m>, то должен существовать оператор ^*{^1^}, такой, что
Л^ы2^0^2^^21*1^ <32-5>
Ясно, что
(32.6)
где
V == Фц " ^1- (32.7)
Будем действовать таким способом до тех пор, пока не окажется полностью исчерпанным; получим
2(*fc)<m) = /l2(*,)0/i2(*a)0 ... ®/,з;(‘1ц)® ... 0/,s(A^. (32.8)
Необходимо подчеркнуть, что пространство (т) должно
быть исчерпано конечным числом таких шагов. На каждом шагу этой процедуры встает альтернатива: либо инвариантное пространство оказывается полностью разложенным на предшествующие компоненты, либо нет. Если нет, приведение продолжается.
Каждое получаемое пространство [такое, как в (32.5) и
(32.6)] содержит U линейно-независимых функций, и компоненты полного разложения ортогональны, так как векторы ka неэквивалентны. Сравнивая (32.8) с (29.2), (29.9)— (29.11), немедленно устанавливаем тождественность набора {/а} и набора {ka} из (29.2). Поэтому
h ~ ^2= • ¦ • — ^ = 1щ> (32.9)
так что размерности всех подпространств, входящих в должны быть одинаковы. Каждое такое подпространство соответствует отдельному неприводимому представлению группы ?, взятому 1т раз. Набор волновых векторов ka не произволен, а полностью определен, если задан один его представитель. Пусть k — канонический волновой вектор набора; тогда весь набор волновых векторов мы будем называть звездой k:
*k = {k1 = k, k2 — (f2 -к, ..., fcs = q>s- к). (32.10)
Подведём итог: полное неприводимое пространство Е(**) (ш) отдельного неприводимого представления группы @ может быть
Неприводимые представления пространственных групп 87
разложено на s ортогональных подпространств:
2(*4(m) = z(t) <m)® 2^ <m>® ... ®2^(m),
(32.11)
где каждое такое подпространство соответствует одному неприводимому представлению группы $. Все подпространства l(*n) (т) имеют одинаковую размерность и задают неприводимые представления группы 5; одинаковое для всех [х число раз
lm. Представления /)(V при ц=1, ..., s являются неэквивалентными неприводимыми представлениями группы ?.
§ 33. Блочная структура матриц представления <т>
группы @
Из (32.10) и (32.11) следует, что в неприводимом векторном пространстве 2^**)(т) задано определенное упорядочение. Так, первые lm функций относятся к волновому вектору k\ = k, следующие lm — к волновому вектору k2 и т. д. в соответствии с
(32.10). Следовательно, каждую матрицу представления ?)(**) (т) можно разбить на отдельные блоки матриц с размерами (lm X lm) в соответствии с упорядочением волновых векторов в (32.10). Матрицу с размерами (Im'X.lm) в правом верх-
нем углу будем обозначать D
(Ai) (т)
аналогичным образом будем
обозначать каждый матричцый блок с размерами (1тУ.1т)-Так, /)(**,)(,п) означает матрицу, связывающую пространства
2(*ц)<т> и Тогда имеем
