Пространственная симметрия и оптические свойства твердых тел. Том 1 - Бирман Дж.
Скачать (прямая ссылка):
§ 14. Функции и представления
Предположим теперь, что для некоторой физической задачи задана замкнутая система из I линейно независимых функций
Фь Фг» •••, Ф/ = {Фа}- (14.1)
Под словом «замкнутая» мы подразумеваем, что для рассматриваемой задачи любая произвольная функция фа может быть
Неприводимые представления и векторные пространства
53
представлена в виде линейной комбинации функций
i
Фа=Есаафа. (14.2)
а=1
Заметим, что здесь опущен индекс г координаты точки в конфигурационном пространстве, чтобы подчеркнуть функциональный характер соотношения. Совокупность {\j)a} можно рассматривать как набор векторов в гильбертовом пространстве.
Применим теперь оператор вида Ps к одной из функций
Ps^a(Sr) = ^a(r). (14.3)
Но система {фа}, по предположению, является замкнутой. Поэтому функция Pstya не является линейно-независимой и может быть представлена в виде линейной комбинации функций:
Ps^a = Z D (S)na ф„. (14.4)
п*= 1
Отметим снова, что (14.4) устанавливает соотношение между функциями. Фиксируем теперь Ps, а в качестве выбранной функции будем по очереди брать все функции системы {-фа};
тогда получим
Ps% = i D (S)na ф„, a = 1, ..., /. (14.5)
n=1
Таким способом из (14.5) мы получим элементы матрицы D(S) с размером (/Х0- Если рассмотреть теперь оператор Pq, то можно получить матрицу D(Q). Выбирая в качестве оператора Ps по очереди все возможные операторы преобразований из группы ®ps, получим совокупность матриц размера (/ХО
D(E),D(P)........D (Q)..... (14.6)
Далее, из (14.4) и (13.5) нетрудно получить
РrPs't’a = Pr (D (S)ma Фт') = D (S)ma Pд'Фт ~
\ m J m
= (S)ma ? D (R)nm = E f E D {R)nm D (S)^^ =
m n n \ m J
= ZD(RS)na%. (14.7)
П
С другой стороны,
PRS$a = TjD (RS)na -ф„. (14.8)
n
Поэтому при перемножении матриц системы выполняется правило
D(R)D(S)*=D(RS). (14.9)
54
Глава 3
Следовательно,, совокупность матриц (14.6) образует матричную группу. При необходимости специальным образом выделить эту матричную группу мы будем обозначать ее ©в(«).
Группа @в(«) является гомоморфным отображением групп ®Pr и ©«. Матричная группа ©в(«), базисом которой является замкнутая система функций {фт}, образует представление групп ©я и ©Рд. Система функций {фа} задает некоторое линейное векторное гильбертово пространство 2, а отдельные функции ¦фт системы можно рассматривать как базисные векторы этого векторного пространства.
Аналогичным образом базисные векторы а,\, а2, аз прямоугольной системы координат задают трехмерное евклидово пространство, в котором существует кристалл. Систему {-фа} часто также называют функциональным пространством, инвариантным относительно действия группы. Как правило, мы не будем употреблять для системы (14.1) термин «полная система», так как этот термин подразумевает наличие некоторых аналитических свойств, не являющихся необходимыми в настоящем рассмотрении.
§ 15. Неприводимые представления и пространства
Пусть инвариантное функциональное пространство, определенное в § 14, имеет размерность /. Если имеется система функций
Фь ф2> ¦ • •> 'Фт, т < 1, (15.1)
то инвариантное функциональное пространство расщепляется на два инвариантных подпространства. Если такое расщепление происходит, то далее мы будем считать, что эти инвариантные подпространства ортогональны.
Совокупность матриц D, образующих представление группы ©в(я), можно полностью привести или разложить на неприводимые. После полного приведения каждая матрица представления имеет квазидиагональный вид
для всех преобразований {ф|т(ф)} группы ®. В (15.2)' матрицы D и Н имеют размеры {tn'X.tn) и (/ — т)У,(1 — т) соответственно.
Если пространство содержит несколько инвариантных ортогональных подпространств, то разложение (полное приведение) матрицы (15.2) принимает более общий вид квазидиагональной матрицы с несколькими квадратными матрицами на диагонали.
Неприводимые представления и векторные пространства
55
Соответственно можно написать
m
Р{<е 11 (Ф)}Фа = Z D ({ф 11 (ф)})„а ф„, а — 1, . . ., Ш,
п=1
И
I
^{ф|<(ф»Фа= Е Я({ф|#(ф)})„аФл. а = т+ 1, I,
т+1
для всёх {ф|/(ф)}, входящих в группу @. И в этом случае соотношения (15.3), (15.4) можно обобщить при наличии нескольких инвариантных ортогональных пространств.
Неприводимым представлением является такая система матриц D или группа ®d(r>, которая не может быть разложена, т. е. для которой невозможно привести одновременно все матрицы к виду (15.2). Если задано матричное представление D группы @, его приводимость можно проверить, используя лемму Шура [1—3].
Так, пусть задано представление /)({ф|^(ф)} и матрица М, такая, что
MD({'t\t('t)}) = D({'P\t(4>)})M. (15.5)
Если единственная матрица М, удовлетворяющая этому уравнению, равна М = mD({e10}), где m — константа, то представление D неприводимо. Неприводимые представления обычно обозначают добавлением верхнего индекса к символу матрицы, например D(l). Мы примем это обозначение.
Если для конечной группы © задан набор неприводимых представлений /= 1, ..., г, то для определения того, все ли неприводимые представления © есть в этом наборе, можно использовать несколько (по существу эквивалентных) критериев. В случае пространственных групп не все критерии удобно использовать. Так, если число классов группы © равно г, то группа © имеет г различных неприводимых представлений. Далее, если рассмотреть след, или характер, матрицы/)(/){ф|/(ф)}, определенный формулой
