Пространственная симметрия и оптические свойства твердых тел. Том 1 - Бирман Дж.
Скачать (прямая ссылка):
в) соответствующее векторное функциональное пространство, которое при действии на него операторов Лф|*(ф)} Дает представления ?>(**) (т).
Далее, будем считать, что пространство ?(**) (т) символически представлено вектор-строкой, содержащей (s-lm) базисных векторов ц^т):
S(*ft) (т) = J4jm)| Ч(т,..„Щ. (28.4)
Представление задано этим пространством:
(s' Iт)
Р1Ч11 (ФйЧЙ”’ = -5 D(*A) (m) (fa I * (ф)»Ра 'ПГ- а = 1, ..., (s • 1т).
(28.5)
В уравнении (28.5) — любой из (я • /т) базисных векторов
пространства (т). Таким образом, для всего пространства и представления можно написать
Р{ф | f <m> = S<**) ({ф 11 (q>)». (28.6)
§ 29. Представление группы Ж, полученное ограничением представления <m) группы ©
Поскольку ?)(**)<т) ({ф 11 (ф)}) является представлением группы, то
?>(**) (™)({e\Rl)) (29.1)
является представлением подгруппы Это представление мы будем называть ограниченным представлением: оно получается, если набор рассматриваемых элементов {ф|*(ф)} ограничить элементами подгруппы $. Как представление группы $, ?)(**)<т), согласно теореме Машке, либо неприводимо, либо разлагается в сумму нериводимых представлений группы &. Будем считать, что (29.1) выбрано в полностью приведенной форме для всех трансляций из S:
82
Глава 5
В (29.2) входят единичные матрицы Па размера (la X 1цУ-1 0 ... О'
П,-
О 1
о
1
размера (/, X А) и т. д. (29.3)
Таким образом, мы предположили, что в представление неприводимое представление группы Z входит раз,
?>(*2)
входит /2 раз, . Л , D(ks) входит ls раз. Предположение о том, что имеет форму (29.2), не наклады-
вает на наше рассмотрение никаких существенных ограничений. Величины exp — ika-RL являются (одномерными) матрицами неэквивалентных неприводимых представлений группы Z. Поскольку эти матрицы неэквивалентны, векторы ka различимы и неэквивалентны, т. е.
ky Ф k2 + 2пВн и т. д.
(29.4)
Поэтому первые h функций пространства <т> мы можем отождествить с блоховскими функциями (или блоховскими-век-торами), характеризуемыми волновым вектором k\\
К”’-
И ......пН = (т)- • • •. ] (т)}. (29.5)
В (29.5) мы ввели обозначение
ф?><т), = 1,----- (29.6)
для блоховской функции с волновым вектором k\\ дополнительный индекс т объясняется ниже, а индекс Я, нумерует 1\ возможных функций. Аналогичным образом следующие h функций образуют набор
Ф^)(т). Я2=1,...,/2
и т. д., так что в общем случае
1.....1а’ а== 1.....S-
Эти результаты можно кратко свести к следующему:
а
D
(**) (т)
"к) (т).
(29.7)
(29.8)
(29.9) (29.10)
Неприводимые представления пространственных групп 83
Подразумевается, что в выражениях (29.9) и (29.10) левая часть представляет собой неприводимое представление группы <3, а правая часть выражает разложение ограниченного представления на неприводимые представления группы
В заключение выпишем, используя (29.2), выражение для следа матрицы '
(S)
Sp D(**) <"> ({е | Rl}) = ? /в exp - ika ¦ RL. (29.11)
a= 1
§ 30. Преобразование блоховских векторов операторами
поворотов
Прежде чем продолжить изучение представления ?)(**)(«), нам потребуется некоторый промежуточный результат. Основными составляющими блоками для представлений являются блоховские векторы и нам следует рассмотреть преобра-
зованные функции. Таким образом, пусть — блоховский вектор с волновым вектором k, так что, согласно (25.6),
P{>\«L}?*} = DW({&[RL})^*h (30.1)
Рассмотрим функцию
(30-2)
Из равенства
{е I Rl} • К | тх} = {ф I тх} ' {е I Фх 1 • KJ (30.3)
получаем для (30.2)
Р{‘1 rl) ' (Р{\ I = Р{\ 14} ’ Р{‘ I =
= DW({b\^.Rl})P (30.4)
Но
D<*> ({е | • *,}) = exp - ik • (ФГ1 • Rl) =
= exp — г(фх • k) • Rl = |RL})t (30.5)
где
*x = 4V* (30.6)
есть некоторый волновой фактор. Можно выделить два случая:
== фд, • k = k -f- 2я В и, (30.7)
йя==фд,-^5^* +2 пВн. (30.8)
В случае (30.7) эквивалентно представлению D(k)\ в случае (30.8) эти представления неэквивалентны. Используя (30.4)
84
Глава 5
и (30.5), получаем
ре | *d' (pii I •J'O " °Л) ((• I ' (pi*x I -и**)- <30-9>
Следовательно, если мы рассмотрим оператор как
пробный оператор аналогично (25.6), то получим, что функция
Pimm*® (золо)
является функцией с волновым вектором k\.
Очевидно, что для любого оператора смежного класса {фь|т*}? преобразованная функция обладает аналогичным свойством. Так,
Pj*.j , принадлежит 2^', (30.11)
pl»1|'ft)lXl*l = 5:('l)- <3<U2>
§ 31. Сопряженные представления группы X
Результаты, полученные в § 30, позволяют ввести важное понятие. В § 10 было приведено определение сопряженных подгрупп группы ®. Применим аналогичные рассуждения к подгруппе ? группы ®. Будем считать, что фиксированный элемент (фх|*(фх)} группы © производит отображение ? на себя:
{фяиыг’мфяиы}-**. (31.1)
Ясно, что это отображение является внутренним автоморфизмом (сопряжением) группы @, определяемым согласно правилу
КI * ЮГ1 (81 'Ы* К)} = I81 ^ • (31-2)
Соответствующие элементы сопряженных подгрупп связаны соотношением (31.2).
Рассмотрим теперь матрицы {е | RL} и {е |ф-[ • RL} неприводимого представления Z)w группы %. Они имеют вид
