Нелинейные волны в одномерных диспергирующих системах - Бхатнагар П.
Скачать (прямая ссылка):
N
knlfam + ^n) 5=5 1 Ср {%) bmt)kp, tn р, р -(- 1, . . ., N,
(3.158)
km — 0, /п=1, 2.........р — 1;
п-р
N
I
п~р
2 </(*„+*„)-- с, (I) (to,k„+k'p),
m = p, p+ 1, ..., N, (зл59)
k'm = ~ 2v,mkm = °> m=l, 2.........p — 1.
Уравнения (3.168) и (3.159) имеют ту же структуру, что и (3.146) и (3.147) при условии замены изменения m от 1 до р на изменение от р до N. Следовательно,
(Нгп^ и (х, 0 = — 2х2 sech2 {%р (| — ?')} —
I фикс.
= — 2х2 sech2 {хр (лг - 4х2/ — §')}, (3.160)
где ехр(2к !') = (с2 (0)/2кр) Ц. [(хр-«т)/(«р + «т)]2- (3.161)
Предыдущие рассмотрения ведут к следующему заключению. Если u(x,t), решение уравнения КдФ, есть безотражатель-ный потенциал Шредингера, то при /->±оо каждое собственное значение Хр — — х2 связано с солитоном, форма которого стремится к форме уединенной волны (3.156) при /->-(-оо и форме (3.160) при —оо. Уединенная волна имеет постоянную скорость 4х2 и амплитуду 2х2. Во время ее прохождения от t = —оо до t — -foo фаза на ее траектории изменяется на величину
I -г--Гу у (злей
Эта теорема была независимо доказана В. Е. Захаровым
[1971], Вадати и Тодой [1972] и Танакой [1972—1973]. Из (3.162) видно, что полный сдвиг фазы есть сумма сдвигов фаз, претерпеваемых при изолированном парном взаимодействии любых двух солитонов. Этот факт был отмечен также
В. Е. Захаровым [1971].
Литература
93
3.8. Непрерывный спектр оператора Шредингера
Мы рассмотрели волны, соответствующие только дискретному спектру уравнения Шредингера. Абловиц и Ньюэлл [1973] рассматривали проблему, соответствующую непрерывному спектру. Взяв уравнение КдФ в виде щ + иих + иххх = = 0, они установили, что если начальные данные не приводят к дискретному спектру, то при х i1/3 решение u(x,i) затухает экспоненциально. Однако их результаты для \х\ — = 0(i1/3) и х <С—/1/3 оказались неверны. Для дальнейшего знакомства с проблемой решения в случае непрерывного спектра рекомендуем обзорную статью Миуры [1976]. Насколько нам известно, случай смешанного спектра еще не исследовался !).
ЛИТЕРАТУРА
Абловиц, Ньюэлл (Ablowitz М. J., Newell А. С.)
[1973] The decay of the continuous spectrum for solutions of the Korteweg — de Vries equation. — J. Math. Phys., v. 14, p. 1277— 1284.
Вадати, Тода (Wadati М., Toda M.)
[1972] The exact /V-soliton solution of the Korteweg — de Vries equation.— J. Phys. Soc. Japan, v. 32, p. 1403—1411.
Гарднер, Грин, Круокал, Миура (Gardner С. S., Qreene J. М., Kruskal M. D,.
Miura R. M.)
[1974] Korteweg — de Vries equation and generalizations. VI. Methods for exact solution. — Communs. Pure and Appl. Math., v. 27 p. 97—133.
Гельфанд И. М., Левитан Б. М.
[1951] Об определении дифференциального уравнения по его спектральной функции. — Изв. АН СССР, сер. мат., т. 15, с. 309—360.
Захаров В. Е.
[1971] Кинетическое уравнение для солитонов. — ЖЭТФ, т. 60, с. 993.
Кэй, Мозес (Kay I., Moses Н. Е.)
[1956] Reflectionless transmission through dielectrics and scattering potentials.— J. Appl. Phys., v. 27, p. 1503—1508.
Ландау Л. Д., Лифшиц E. М.
[1974] Квантовая механика (нерелятивистская теория). — М.: Физмат-гиз, 1974.
Миура (Miura R. М.)
[1976] The Korteweg — de Vries equation: a survey of results. — SIAM Rev., v. 18, p. 412—459.
Миура, Гарднер, Крускал (Miura R. М.,Gardner С. S, Kruskal M. D.)
[1968] Korteweg — de Vries equation and generalizations. II. Existence of conservation laws and constants of motion. — J. Math. Phys., v. 9, p. 1204—1209.
*> Временная асимптотика решения уравнения КдФ (и подобных ему уравнений) может быть получена в терминах начальных данных в явном виде и в случае смешанного спектра. Для начальных данных частного вида смешанная спектральная задача может быть также разрешена явно. — Прим. перев. ___
94
3. Взаимодействие солитонов
Танака (Tanaka S.)
[1972—1973] On the A/-tuple wave solutions of the Korteweg—de Vries equation. — Publ. Res. Inst. Math. Sci. Kyoto Univ., v. 8, p. 419—427.
ЛИТЕРАТУРА, ДОБАВЛЕННАЯ ПЕРЕВОДЧИКОМ
Динариев О. Ю., Сибгатуллин Н. Р.
[1981] О некоторых эффектах диффузии солитонов над неровным дном. — МЖГ, № 5, с. 94—102.
Захаров В. Е., Манаков С. В., Новиков С. П., Питаевский Л. П.
[1980] Теория солитонов: метод обратной задачи. — М.: Наука. Марченко В. А.
[1955] Восстановление потенциальной энергии по фазам рассеянных волн. — ДАН СССР, т. 104, с. 695—699.
4
Общее уравнение эволюции
4.1. Введение