Нелинейные волны в одномерных диспергирующих системах - Бхатнагар П.
Скачать (прямая ссылка):
N
К (X, у) + Yj ехР [¦“ %гп (х + у)] +
т = \
N оо
+ ? Ст ехр ( кту) ^ ехр ( Kmz) К. (х, z)dz = 0. (3.115)
т = 1 х
Чтобы устранить из (3.115) зависимость от у, мы должны выбрать К(х,у) в следующем виде:
N
К(х, у) = — Z стг|>т С*)ехр (— кту), (3.116)
т=1
где (л:) — неизвестные функции, а множители ст введены так, чтобы функции г|)т оказались нормированными собственными функциями уравнения Шредингера
t«-K+«)t = 0. (3.117)
Подставим (3.116) в (3.115) и приравняем коэффициенты при ехр (—%ту) для того, чтобы получить следующую систему N линейных уравнений для определения неизвестных
функций г|к
¦„ (X)+^стсЛп м -
п=I
= ст ехр(— ятх), т= 1, 2.......N. (3.118)
3.6. Солитонные решения уравнения КдФ
87
Можно записать эти уравнения в следующем матричном виде:
(/ + С) г|> = Е, где / — единичная матрица порядка N,
Г= \п 1______________________Г/» п ехр [— (% + х„) х]
]
(3.119)
(3.120)
есть (NX, N)-матрица и
сг ехр(--- v,ix)~
^2 с2 ехр(--- щх)
г|з== , 5 = *
.'Флт- _ cwexp(---knx) .
(3.121)
— матрицы-столбцы. Достаточное условие единственности решения уравнения (3.119) заключается в положительной определенности С, что действительно имеет место, как видно из нижеследующего. Квадратичная форма, отвечающая квадратной матрице С, имеет вид
N N
тп =¦ 1 л ¦=* 1
I. I.«-V
ОО |- 14
-Hi
х Lm =
N _,2
ст ехр (—%mz) X
]•
откуда следует, что она положительно определённа. Таким образом, доказан факт единственности решения.
Далее легко показать, что
0 <
detc=(дехр [-2 Qc*-)х]det fcbd ¦
. И/П + *п / *
(3.122)
так что det (---—'j > 0. (3.123)
N Мщ “Г Ид /
Из (3.122) следует
detC = aexp(— fix), (3.124)
где аир положительны. Пусть Qmn — алгебраические дополнения к элементам п-го столбца матрицы /+С в (3.119);
тогда, раскладывая по п-му столбцу, имеем
д - det (/ + С) = ? (бmn + cmcn «РЬ^ + Х") *1
m-i
(3.125)
Qmn*
88
3. Взаимодействие солитонов
где бтп символ Кронекера. Тогда правило Крамера дает
N
т = (1/А) Z Сп ехр (— я„х) Qmn. (3.126)
П « 1
Следовательно, приравнивая у и х, получим
N
К(х, *) = — ? ст$т (х) ехр(— *тх) =
т= 1
N N
~ (1/А) Z 2 СтСп ехр [ (ят -(- Яп) X] Qmn х=
т=1 п= 1
= (\/\)(dydx) = d\nb/dx, (3.127)
и решение уравнения КдФ выражается в виде
и(х, t) = — 2 (d/dx) К (х, х) = — 2 (d2/dx2) In А, (3.128)
= - 2 (d2/dx2) In {det (/ + С)}. (3.129)
Покажем, что ifm(x) в (3.116)—нормированные функции, соответствующие собственным значениям уравнения Шредингера
М1>*] = о, Lm^d2ldx2-[x2m + u(x)l (3.130)
где Lm — линейный дифференциальный оператор. Применяя оператор Ьт к (3.118), после значительного упрощения получим
N
Lm N>m] + J] xf+'^Г 6ХР + ^ Х^ 1п ^ = 0’
л-1 т П
или (/ + С) L (-ф) = 0, (3.131)
где L [ if ] = [Li[-фi], L2[i|52], ..., Ln[ifW]]T — вектор-столбец.
Так как матрица / + С невырожденна, то (3.131) допускает только тривиальное решение L[if] = 0. Следовательно, -фm — собственные функции уравнения Шредингера, отвечающие собственным значениям кт- Если запишем (3.118) в форме
N
ifm ехр (хтх) + 5] хСтт+\п М5» ехР (и»*)] ехР (~
п-1 т П
и перейдем к пределу прих-voo, получим lim ifm ехр (хтх) =
Х-Юо
= ст- Таким образом, ifm — нормированные собственные функции.
3.7. Взаимодействие солитонов
89
3.7. Взаимодействие солитонов
