Решение задач по физике. Общие методы - Беликов Б.С.
Скачать (прямая ссылка):
Решение. Приведем сначала стандартное решение Применим метод анализа физической ситуации. В дальне! шем метод анализа физической ситуации задачи будем сої ращенно называть методом анализа. В физическую систем включим оба катера, которые можно принять за материалі
34
ные точки. Они движутся равномерно и прямолинейно относительно инерциальной системы отсчета, связанной с Землей. Это движение рассматривается формально. Необходимо определить один из параметров этого явления — минимальное расстояние между телами. Эта задача связана с основной задачей кинематики. Начало координат выберем в точке А. Так как законы движения тел известны:
t1=Ux cosa-M+
+U1 sin a-t-], r2=(/—u2 cos?« t)i+
+u2sin?.bj,
то из них определим расстояние между катерами в любой момент времени:
г = |/[/ — (ug cos ? + U1 cosa) ?]2 + [(u2sin?— U1 sin a) t]*.
(9.1)
Остается найти минимум этого выражения. Вот здесь-то нас ожидают нелегкие вычисления, которые, однако, придется проделать до конца. Для упрощения этих вычислений (нам необходимо найти производную г' и, приравняв ее нулю, определить значение tmin, после подстановки которого в (9.1) можно получить искомое rmin) возведем г в квадрат:
г2=!/—(и2 cos ?+Uj cos a)*]2+[(u2 sin ?—U1 sin a)tf2.
Найдем производные от обеих частей последнего выражения:
2гг' = 2 { — [/—(U2 cos? + U1 cos a) t] (u2cos?+ux cosa) + + (u2 sin ?—U1 sin a)21).
Исключим тривиальный случай, когда г=0 (это означает, что катера могут столкнуться). Тогда, приравнивая f нулю, находим тот момент времени tmin, в который расстояние между катерами минимально:
^ _ I (р2 cos ?+Vj cos a)
mln ~~ oS+o5+2rv>$ cos (a + ?)'
Подставив это выражение tmia в (9-1) после очень долгих вычислений (советуем читателям в этом убедиться само-
35
стоятельно) получаем окончательно __1(V2SIn ?—HjSuI а)
'min ./•-, „ = •
У v\+ vl+ 2V1V2 cos(a + ?)
Дадим теперь оригинальное решение. Свяжем инер-циальную систему отсчета не с Землей, а с первым катером (1). Почему? Чем эта система лучше системы, связанной
Yk
с Землей? Может быть, она лучше, может быть, хуже. Мы заранее этого не знаем. Попробуем все же выбрать именно такую систему отсчета. Теперь второй катер относительно этой системы отсчета движется с относительной скоростью
v=v2-v1 (9.2)
и траектория его является прямой линией ВС (рис. 9.4). Очевидно, что минимальное расстояние между катерами есть длина перпендикуляра АС, опущенного из точки А на прямую ВС: ^
\AC\=l sin ф,
где ф — угол между направлением BA и вектором v. Осталось найти sin ф. Проецируя v (см. (9.2)) на ось OY, получаем
V sin (p=v2 sin ?—V1 sin а. По теореме косинусов,
V = Vv\ + V\ + 2^1U2 cos (a -f ?).
Таким образом,
v2 sin ?—V1 sin а sin ф = -. . -.
V V1 + vi + 2V1V2 cos (а + ?) Следовательно, окончательно
і лг\ '(? sin ?—°i sin a)
'min= i ли I —
VvI + vi + 2V1V2 cos (a + ?)
что совпадает с выражением, полученным путем длительны вычислений стандартным методом.
Раздел II
Решение стандартных задач
МЕХАНИКА
глава 3
движение материальной точки
§ 10. Кинематика материальной точки
В кинематике движение тел рассматривают формально, без объяснения причин изменения движения и, следовательно, не используют ни понятия силы F, ни понятия массы т тела.
Простейшей физической системой является либо одна материальная точка, либо их относительно небольшая совокупность.
п
Положение материальной точки относительно какой-либо системы отсчета в произвольный момент времени t определяется радиусом-вектором r=r(t) (рис. 10.1). Если
37
ввести единичные векторы (орты) i, j, к, направленные по соответствующим осям (ОХ, OY, OZ), то радиус-вектор г можно представить в таком виде:
r(t)=x(t)\+y(t)]+z(t)k, (10.1)
где x(t), y(t), z(t)— компоненты радиуса-вектор а г(/). Одновременное задание трех функций x(t), y(t) и z(t) эквивалентно заданию одной векторной функции г (t) от скалярного аргумента /. Уравнение (10.1) называют законом движения материальной точки. Таким образом, закон движения (10.1) определяет положение материальной точки в любой момент времени.
Вектор скорости v = {vx(t), vy(t), vz(t)} и вектор ускорения а={ах(0, «у(0. oz(0} определяются через соответствующие производные:
dr dx . . dy . , dz , /1 л о\
^ = Tt=Tt1 +Tt*+Ttk> <10-2>
dv d2*. . d2y. . d2z , /1 л q\
a=Tt=dTl + wi+dt*k' <10-3>
Закон движения (10.1) является фундаментальным в кинематике. Зная закон движения, можно определить и другие физические величины, характеризующие движение материальной точкй>^например компоненты вектора скорости V, ускорения а и т. д.:
MO = ?. о, (0-?. 0.(0-?; (Ю-4)
0,(0 = 0.-0,(0 = 0.0.(0 = 3^- (Ю-5)
Следовательно, с законом движения (10.1) связана основная задача кинематики. Формально этих задач две: прямая и обратная. Прямая основная задача кинематики заключается в нахождении любого параметра движения по известному закону движения. Она решается путем последовательного применения основных законов кинематики (10.1) — (10.3). Обратная задача кинематики состоит в определении закона движения по какому-либо известному параметру движения (вектора скорости v или ускорения а). Обратная задача значительно труднее прямой. Можно доказать, что огромное разнообразие кинематических задач сводится к этим двум. Рассмотрим несколько примеров прямой и обратной задач кинематики.
