Решение задач по физике. Общие методы - Беликов Б.С.
Скачать (прямая ссылка):
Пример 10.1 Определить модуль скорости материальА ной точки в момент времени t~2 с, если точка движется по закону r=a*2-i+? sin(nt)j, где а=2 м/с2, ?=3 м.
38
Решение. Физический анализ *. Физическая система состоит из одного идеального объекта — материальной точки. Задан формально закон ее движения. Следовательно, наша задача — прямая задача кинематики (по известному закону движения определить один из параметров движения — в данном случае модуль вектора скорости). Используя известный закон движения, находим, что компоненты радиуса-вектора г (t)
Таким образом, материальная точка движетея в плоскости XOY, поэтому каждый из векторов г, v и а имеет две компоненты. По определению вектора скорости из уравнений (10.2), (10.4), (10.6) и (10.7) получаем компоненты вектора скорости:
vx=2at, vy=$ncos(nt). Отсюда находим искомый модуль вектора скорости:
I у I = Vv\ -{-Vl = ^AaH2 + Р2я2 cos2 (я*).
Подставив числовые значения, получим v& 12,4 м/с. Пример 10.2 Материальная точка движется по закону г=а sin(50i+? cos2(5/)J, где а=2 м, ?=3 м. Определить вектор скорости, вектор ускорения и траекторию движения материальной точки. Решение. Это тоже прямая задача кинематики. Находим компоненты радиуса-вектора:
Таким образом, движение материальной точки происходит в плоскости XOY. Далее, определяем компоненты вектора скорости:
* Вводную часть физического анализа мы будем проводить не полностью. Поэтому слова «физический анализ» после слова «решение» означают, что проводится основная часть метода анализа физической ситуации задачи (выбор и анализ физической системы, исследование физического явления и т. д.).
x(t)=at2, y(t)=$ sin (я*), z (/)=0.
(10.6) (10.7) (10.8)
x(t)=a sin (5/), y(f) =? cos2 (50, z(t)=0.
(10.9) (10.10) (10.11)
vx(t)=Sa cos (?), ^)=_5? sin (10/).
(10.12) (10.13)
39
Из уравнений (10.12), (10.13) находим компоненты вектора ускорения:
ajt)=—25а sin(5/), (10.14)
flj,(*)=—50? COS(IOO- (10.15)
Для получения уравнения траектории исключим время t из системы уравнений (10.9) — (10.10):
0=3—V4X*. (10.16)
Материальная точка движется по параболе.
Пример 10.3 Скорость материальной точки изменяет-
ся по закону v = a(2ts—?)i—у sin f -^-1\ j, где a=l м/с4,
? = l с3, 7=1 м/с. Определить закон движения, если в начальный момент времени t=0 тело находилось в начале координат, т. е. г0—{0, 0, 0}. Решение. Физический анализ *. Физическая система состоит из одной материальной точки. Заданы формально закон изменения ее скорости и начальное положение. Необходимо определить закон движения материальной точки. Следовательно, данная задача — обратная задача кинематики (по одному известному параметру движения — скорости — найти закон движения). Закон движения г=г(/) и вектор скорости Ксвязаны посредством векторного дифференциального уравнения (10.2), которое эквивалентно трем дифференциальным уравнениям (10.4). В нашем случае компоненты скорости vx(t), vy(t) и vz(t) — известные функции времени:
1,, = ^(2/»—?), ow = ~YSin(~r), ож = 0.
Подставляя эти значения vx, vy и U2 в уравнения (10.4), получим систему трех дифференциальных уравнений для трех неизвестных функций X (t), y(t) Kz(t) — компонент радиуса-вектора г:
/rwi о\ d-*: • 2я , du Л dz
Разделяя переменные и интегрируя, находим
* = <x(-g-r4-?') + ci, (10.17)
Z=C3, (10.19)
* В дальнейшем слова «физический анализ» после слова «решение» будут опускаться.
40
где Сі, с2, C9 — произвольные постоянные, которые определяются из начальных условий. Учитывая, что х=0, у=0 и Z=O в начальный момент времени (т. е. при /=0), из системы уравнений (10.17) — (10.19) получаем, что Cx=O1 C2=—Зу/(2я) и с8=0, и окончательно определяем компоненты радиуса-вектора г:
x{t) = a(±t*-pt)t # = fi[cos(^)-l],z = 0.
Таким образом, закон движения имеет вид
r(/)-e(4/«-p<)l + Jl[cos(5*)-l]j.
Заметим, что, решая теперь прямую задачу (дан закон движения — найти скорость), можно получить исходное значение вектора скорости:
V(O = « (2t*—?) і—у зЦтр t) j.
Впрочем, зная закон движения, можно определить любой параметр движения: скорость v, ускорение а, траекторию и т. д.
Пример 10.4 Ускорение материальной точки изменяется по закону a=ai2i—?j, где a=3 м/с4, ?=3 м/с2. Найти, на каком расстоянии от начала координат она будет находиться в момент времени t=l с, если V0=O и г0=0 при t—0.
Решение. Из условий задачи видно, что материальная точка движется в плоскости XOY. Для того чтобы определить, на каком расстоянии от начала координат она находилась в момент времени t=\ с, необходимо знать закон ее движения. Таким образом, перед нами обратная задача кинематики: дан какой-то параметр движения (в данном случае ускорение а), надо определить закон движения г=г(0 и далее найти модуль радиуса-вектора |г| в момент времени t=\ с.
Сначала определим вектор скорости из уравнения (10.3):
dv Avx . . dvu ,
* = й ИЛИ a = -dfl + -dfJ'
Это векторное дифференциальное уравнение эквивалентно двум дифференциальным уравнениям:
dt ~ °" ' ~ р*
41
Разделяя переменные и интегрируя, получаем компоненты вектора скорости:
