Теория колебаний - Андронов А.А.
Скачать (прямая ссылка):
n n
') Следует отметить, что индекс не учитывает направления движения по фазовым траекториям; например, устойчивый узел и неустойчивый узел имеют один и тот же индекс + 1.
2) За исключением утверждения 2), которое можно считать обоснованным соображениями, данными в сноске. 342
ДИНАМИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ ВТОРОГО ПОРЯДКА
[гл. ¦ V
Это — криволинейный интеграл от полного дифференциала; следовательно, если внутри области, охватываемой кривой N, вдоль которой производится интегрирование, соответствующие подинтеграль-ные функции и их производные непрерывны, то интеграл равен нулю. Отсюда сразу и строго получается наше первое утверждение о том, что индекс замкнутой кривой N, внутри которой нет особых точек, равен нулю '), так как при наших предположениях о правых частях системы (5.1) непрерывность подинтегральных функций и их производных может нарушаться лишь в тех точках, где одновременно Р(х,у) = 0, Q{x,у) = 0.
Вычислим теперь аналитически индекс Пуанкаре для особой точки, т. е. вычислим индекс простой замкнутой кривой, охватывающей эту особую точку и не содержащей никаких других особых точек. При этом будем предполагать, что для этой точки A = ad — be ф 0.
Чтобы не менять обозначений, предположим, что рассматриваемая особая точка представляет собою начало координат, так что
Yt = ах + ЬУ jTp* У)' Ji = cxjT ^jT Q^ (х> У)>
где P2 и Q2 — ряды, начинающиеся с членов не ниже второго порядка по лг и у.
Докажем сначала, что при вычислении индекса особой точки (с Д ф 0) мы можем отбросить члены высших порядков, т. е. P2 и Q%. Так как по-предыдущему индекс не зависит от формы кривой, то можно при вычислении индекса взять за кривую N окружность достаточно малого радиуса р (р 0).
Переходя к полярным координатам лг= р cos ср, у= р sin ср, преобразуем криволинейный интеграл в обычный определенный интеграл:
J = I(P) =
2тс
_J^ Г (іa cos у t> sin <р) d (с cos у d sin у) - (с cos у d sin <р) d(a cos у b sin <р) 4- pf(p, <р) dy
2тс 1 {a cos у -)- b sin <р)2 -[- (с cos 9 -)- rfsin -)- pG (р, <р) '
О
где F(р,ср), G (р, ср) — степенные ряды по р (начинающиеся с членов нулевого измерения по р), коэффициенты которых — периодические функции ср.
Здесь через /(р) мы обозначили определенный интеграл, стоящий в правой части. Ясно, что криволинейный интеграл, с которым связано понятие индекса, имеет смысл лишь для р 0. Однако обратим внимание на следующее. Определенный интеграл /(р) является непрерывной функцией р для достаточно малых р (так как Д ф 0). Поэтому Iim / (р) = / (0). С другой стороны, мы знаем, что криволинейный инте-
Р-.0
') Обратное утверждение не имеет места, так как могут быть сложные особые точки (для которых Д = 0) с индексом, равным нулю. ИНДЕКСЫ ПУАНКАРЕ
343
._//-річ _ 1 і \<* sin 9) d (с cos 9 +rfsin 9) — (с cos 9-(-dsin 9) cos 9-(-ft sin 9)
J ' Ож 1 (a cos <f + b sin 9)2 + (c cos 9 + d sin 9)3
грал не зависит от р для достаточно малых р. Отсюда следует, что, для достаточно малых р, /(р) = /(0) и, наконец, что J = I(O):
'=т = 1 ( — І
Таким образом показано, что при вычислении индекса Пуанкаре для простой особой точки (с Д ф 0) можно отбросить нелинейные члены. Чтобы вычислить 1(0), удобно применить следующий прием. Перейдем снова к обычным координатам и запишем наше выражение опять в виде криволинейного интеграла:
• _ / /пч _ ,Г (ах + b^ d (сх + dy) — (сх + dy">d (ах + by)
J~ ^ (ах + Dyy + (сх + dyf
N
где N — любая простая замкнутая кривая, охватывающая начало, так как для линейного уравнения, получающегося после отбрасывания нелинейных членов, единственная особая точка — начало координат. Прием заключается в том, что за такую замкнутую кривую выбирают эллипс Г:
(axJrbyfJr(cxJrdyf = 1; тогда, как показывают несложные выкладки,
j = I(O) = ±§(xdy—y dx),
где
а Ъ
Д =
с d
или в силу известного выражения для площади через криволинейный интеграл
/' = z(o) = As,
где S — площадь эллипса. Так как S = rri ')> то
|А|
._ А
У ІАГ
') Возьмем эллипс (ах -f- by)2 + (сх -f- dy)2 = 1. Чтобы вычислить площадь этого эллипса, перейдем от прямоугольных координат л;,у к координатам S = ах by, ¦») = сх dy, которые также будем интерпретировать как прямоугольные координаты.
Тогда эллипс (ах + by)2 (сх + dy)2 = 1 деформируется в круг Ї2 + 1I2 = 1. Площадь этого круга S1 = я. С другой стороны 344
динамические системы второго порядка
[гл. ¦ v
Отсюда сразу следует, что индекс Пуанкаре для узла, фокуса и центра равен 1, а для седла равен — 1, т. е. те же самые резуль-
дексов в отношении законов совместного существования замкнутых фазовых траекторий и состояний равновесия различной природы.
Следствие 1. Внутри замкнутой фазовой траектории находится по крайней мере одна особая точка, так как индекс такой траектории по-предыдущему равен —[— 1, а индекс замкнутой кривой, внутри которой нет особых точек, равен нулю.
Следствие 2. Если внутри замкнутой фазовой траектории находится одна особая точка, то это не может быть седло, не может быть также никакая особая точка с индексом, отличным от -}-1.
