Теория колебаний - Андронов А.А.
Скачать (прямая ссылка):
является простой, неособой точкой. По соответствующей фазовой траектории изображающая точка пойдет в соответствии с уравнениями (5.64) к устойчивому узлу У. Если за время действия импульса (т. е. до
Рис. 260.
Смещенная кривая (5.63а)
Рис. 261.
t = x) она перейдет через биссектрису U1 = U1, то после прекращения импульса (при t = t) она окажется в области «притяжения» узла У2 на фазовой плоскости для е=0 (рис. 259, б) и в дальнейшем будет асимптотически к нему приближаться. Таким образом, если импульс 12 Теория колебаний 354
ДИНАМИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ ВТОРОГО ПОРЯДКА
[гл. ¦ V
имел достаточно большую амплитуду е и длительность т, то он перебросит триггер из состояния равновесия У! в состояние равновесия Уа. Заметим, что после повторной подачи такого же импульса триггер, конечно, останется в состоянии равновесия Уа (для обратного переброса необходим импульс противоположного знака).
Сделаем еще одно замечание, имеющее определенный практический интерес. Как известно, триггер применяется в качестве счетной
ячейки для счета электрических импульсов (по модулю, равному двум). С этой целью импульсы подают в симметричную точку схемы (например, на общее катодное сопротивление; см. рис. 262), и тогда каждый импульс перебрасывает триггер из одного состояния равновесия в другое (тем самым по состоянию триггера можно определить, какое число импульсов, четное или нечетное, было подано на вход триггера). Нетрудно видеть, что рассмотренная нами упрощенная схема триггера не будет перебрасываться из одного состояния равновесия в другое при подачё импульса в симметричную точку схемы. В самом деле, уравнения колебаний упрощенной схемы при симметричной подаче импульса прямоугольной формы и амплитуды е запишутся в виде:
C*RW = - - ^/(H2 + *) + ?,
C«R Ti=-"*- («і + + Е или в виде одного уравнения:
dul = — U1- ?/?/(M8 + e) + g du2 — u2 — ?#/(Ml+ «.) + ? '
которое, очевидно, имеет интегральной кривой прямую U1=Ui. Поэтому во время действия импульса изображающая точка не может перейти через биссектрису U1=Ui и, следовательно, попасть в область притяжения другого узла. Оставшись в области притяжения исходного состояния равновесия, она после прекращения импульса вернется в это состояние равновесия и, таким образом, переброс триггера из одного состояния равновесия в другое не состоится. Это отражает реальные свойства триггера: для того чтобы триггер мог работать в качестве счетной ячейки, он должен иметь достаточно большие емкости С (рис. 254). § 9] СИСТЕМЫ БЕЗ ЗАМКНУТЫХ ТРАЕКТОРИЙ
355
2. Работа динамомашины на общую нагрузку. Рассмотрим две одинаковые динамомашины постоянного тока последовательного возбуждения, которые включены параллельно и работают на общую нагрузку (рис. 263). Полагая скорости вращения якорей машин постоянными и одинаковыми и пренебрегая гистерезисными явлениями
в магнитных цепях машин, мы можем записать э. д. с. E каждой из машин в виде некоторой
E
jWWW-
I2
Рис. 263.
-Es
Рис. 264.
однозначной функции тока і в ее обмотке возбуждения: E = ty(i). Положим, что характеристика каждой машины имеет вид, приведенный на рис. 264, т. е. что:
1) E = ty(i) является непрерывно дифференцируемой нечетной функцией ('} (-/)=-ф (/) и ф (O) = O), причем при со
ф (i) Es (соответственно ф (i) — Es при і — со);
2) производная <!/ (/) ^O и не возрастает при увеличении | і |, т.е. при любых МН'Ж l>0 где р = <і/(0)>0.
Уравнения рассматриваемой системы (в обозначениях рис. 263) напишутся так:
(г + R) I1 - Rii
= ^ (Ii) - (г+R) Ii-Ri1-
(5.65)
(5.66)
Деля одно уравнение на другое, получим уравнение интегральных кривых:
d_U = Ф (U) -(r + R) U - Ri1 H1 > (U) - (г + R) I1-RL •
Состояния равновесия определяются уравнениями і (;,) _ (г Jr R) I1 - Rii = о,
ф (U)- (г +R) Ii-Ri1 = 0,
(5.67а) (5.676) 12' 356
ДИНАМИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ ВТОРОГО ПОРЯДКА
[гл. ¦ V
а их характер — корнями характеристического уравнения
X2 -j- оХ -j- Д = О,
коэффициенты которого для состояния равновесия (Z1, Z2), как легко подсчитать, равны:
1
о = -j- [2 (г + R) - ф' (I1) - f (Z2)],
д = ^jT {W (Л) - (г + R)] [V (Z2) - (г + R)] - я2}. Заметим, что дискриминант характеристического уравнения
(5.68)
.WifO-V (Z2)I3 + ?>0,
4 L2
z=ir+2R)i
т. е. состояния равновесия рассматриваемой системы могут быть только узлами или седлами.
Прежде всего при любых параметрах системы ее состоянием равновесия является начало координат фазовой плоскости Z1=Z2 = O, соответствующее невозбужденным режимам обеих машин. Для него oZ. = 2(r-f# — р) и Д?2 = (р — г) |р— (г+ 2/?)]. Поэтому это состояние равновесия — устойчивый узел (о^>0, Д^>0) при р, седло (Д<^0) при -\-2R и неустойчивый узел (о<^0,
Д>0) при r + 2R<p.
Для отыскания состояний равновесия, лежащих на биссектрисе h = k (мы будем называть их ради краткости А-точками), положим
в уравнениях (5.67а) и (5.676) Z1 = Z2 = а\ тогда для координат этих точек получим:
ф(а) — (r-\-2R)a = 0.
(5.69)
Это — как раз нужные состояния равновесия, так как в режимах, им соответствующих, обе машины работают правильно, отдавая наибольшую мощность на сопротивлении R. Как видно из графического решения уравнения (5.68), приведенного на рис. 265, такие состояния равновесия существуют только при r-{-2R<^p и притом только два: А (а, а) и A1 (—а, —а), где а>0. Для А-точек: oL = 2 [г -4- R — Ц (а)] и Д?2 = [<У(а) — /-][</(а) — (г-f 2R)}. Так как <У (a) <r -f- 2R, то эти полезные состояния равновесия устойчивы (устой-
