Теория колебаний - Андронов А.А.
Скачать (прямая ссылка):
Неустойчивый предельный цикл, имеющий положительный характеристический показатель, само собой разумеется, также может содержаться в фазовом портрете «грубых» систем. Однако такой предельный цикл не соответствует реальному периодическому процессу; он играет лишь роль «водораздела», по обе стороны от которого траектории имеют различное поведение. Ясно, что это обстоятельство также имеет существенный физический интерес. Например, наличие неустойчивого цикла дает объяснение так называемого «жесткого» режима, при котором малые начальные отклонения в системе затухают, а большие, наоборот, нарастают.
§ 7. Точечные преобразования и предельные циклы
Как мы видели в гл. III, §§ 3 —5, один из способов нахождения предельных циклов и определения их устойчивости состоит в сведении задачи к некоторому точечному преобразованию, к вычислению соответствующей так называемой функции последования.
1. Функция последования и точечное преобразование. Понятие функции последования было введено Пуанкаре и состоит в следующем.
Проведем на фазовой плоскости динамической системы
^ = Р(Х,У), dft = Q(x,y) (5.1)
через неособые точки так называемый отрезок без контакта L, т. е. такой отрезок, в каждой точке которого фазовые траектории системы (5.1) пересекают его, не касаясь *). Обозначим через AuB его концевые точки и через S — координату точек отрезка L (мы будем предполагать, что s монотонно увеличивается при движении вдоль отрезка от А к В\ например, за s может быть взято расстояние точки отрезка от концевой точки А).
') В некоторых случаях бывает целесообразно пользоваться вместо отрезка без контакта (отрезка прямой) дугой без контакта, т. е. дугой простой гладкой кривой, которая пересекает фазовые траектории, не касаясь их. Все сказанное ниже сохраняется в силе и в этих случаях. § 7] точечные преобразования и предельные циклы
329
Пусть Q — точка на L. Рассмотрим траекторию С, проходящую через точку Q, и пусть x = x(t), y=y(t) — движение по этой траектории, при котором точка Q соответствует t = tu. Проследим траекторию С для значений Может случиться,
что при значении траектория С больше не пересекает от-
резок L. Мы скажем тогда, что точка Q «не имеет последующих на отрезке L».
Но может случиться, что траектория С пересекает отрезок L еще раз при значении Пусть t—первое зна-
чение t, большее ^0, при котором С пересекается с L, и Q — соответствующая точка отрезка L. Мы скажем тогда, что точка Q «имеет последующую Q на отрезке L» (рис.243).
Легко показать, на основании теоремы о непрерывной зависимости от начальных Рис. 243.
условий, что если какая-нибудь точка Q
имеет последующую, не совпадающую с концами А или В отрезка L, то и все достаточно близкие к Q точки L также имеют последующие.
Пусть S и S — координаты различных точек и их последующих на отрезке L. Ясно, что s является функцией от s. Эта функция
S = f (s) (5.52)
называется функцией последования и выражает собой закон некоторого точечного преобразования отрезка L (или его части), устанавливая однозначное соответствие между точками этого отрезка (или его части) и их последующими (на том же отрезке L). Геометрически ясно, что «функцию последования» мы имеем тогда, когда отрезок без контакта пересекает траектории, имеющие характер спиралей или замкнутые. При этом очевидно, что если некоторому значению s = S0 соответствует замкнутая траектория, то /(S0) = Sa, т. е. точка Q и ее последующая Q совпадают (такие точки отрезка L, преобразующиеся сами в себя, носят название неподвижных точек точечного преобразования (5.52)). Обратно, отыскание замкнутых траекторий, пересекающих данный отрезок без контакта, сводится к отысканию тех значений s, для которых s=/(s) = s. Нетрудно также видеть, что в том случае, когда все траектории, пересекающие отрезок L, замкнуты, функция последования имеет вид s=s. Пуанкаре доказал ряд свойств функции s=f(s), которые мы приведем без доказательств.
I свойство. Если точка Qa, соответствующая S = S9, имеет последующую на отрезке L, то функция s=f(s) — голоморфная функция S в точке S = S0.
ds
II свойство. Производная -т- всегда положительна. 330
динамические системы второго порядка
[гл. ¦ V
Первое свойство является, по сути дела, следствием теоремы о том, что решения системы (5.1) с аналитическими правыми частями являются аналитическими функциями от начальных условий, а последнее — следствием теоремы Коши, того обстоятельства, что фазовые траектории не могут пересекаться.
Геометрически последнее свойство означает, что если мы будем двигаться по отрезку L, например, в положительном направлении, то и последующие проходимых нами точек будут двигаться по отрезку L в том же направлении.
Предположим, что некоторая точка Q0 отрезка L, соответствующая s = имеет последующую (не совпадающую с концами А или В отрезка L). Тогда, в силу сказанного выше, все достаточно близкие к Q0 точки также имеют последующие и, следовательно, для всех значений s, достаточно близких к s0, существует функция последования s=/(s). Будем двигаться по отрезку L от точки Q0 в положительном (или отрицательном) направлении, т. е., другими словами, будем, начиная с s0, увеличивать (или уменьшать) s.
