Теория колебаний - Андронов А.А.
Скачать (прямая ссылка):
В первую очередь мы изложим общие законы совместного существования состояний равновесия различных типов и замкнутых траекторий, сформулированные Пуанкаре [108]. Для формулировки этих законов необходимо ввести понятие об индексе замкнутой кривой по отношению к векторному полю. Это понятие индекса будет иметь значение и для других целей, в частности для изучения зависимости качественной картины траекторий от параметра. индексы пуанкаре
339
Рассмотрим фазовую плоскость динамической системы, определяемой уравнениями:
g = />(*, у), dJ[t=Q{x,y), (5.1)
где Р(х,у) и Q (х,у) мы будем предполагать для сокращения рассуждений аналитическими на всей фазовой плоскости.
Возьмем на фазовой плоскости какую-нибудь простую замкнутую кривую N, не проходящую через состояния равновесия. Возьмем на этой кривой какую-нибудь точку S и проведем через нее вектор, совпадающий с направлением касательной, проходящей через эту точку фазовой траектории (рис. 250). Если рассматриваемую точку S мы будем двигать вдоль кривой N, / \
вектор касательной к фазовой траектории бу- / \
дет непрерывно вращаться. Когда точка 5 / J
сделает полный оборот по замкнутой кривой у Лг и вернется на прежнее место, то вектор еде- \ У
лает некоторое целое число оборотов, т. е. \_____
повернется на угол 2тгу, где j — целое число. На- рис
правление вращения вектора мы будем считать положительным, когда оно совпадает с направлением, в котором точка 5 обходит замкнутую кривую N; для определенности можно, например, условиться, что точка 5 всегда обходит кривую N, совершая оборот против часовой стрелки. Таким образом, j может быть как положительным, так и отрицательным целым числом или же равным нулю. Целое число j в известном смысле не зависит от формы замкнутой кривой N. Действительно, если вид кривой непрерывно изменяется, то и угол, на который поворачивается вектор, может изменяться тоже только непрерывно (если наша замкнутая кривая при изменении не проходит через особые точки); следовательно, он вообще не меняется, так как он может принимать только дискретный ряд значений. Поэтому все другие замкнутые кривые, если они содержат только те же особые точки, что и кривая N, дадут то же число j. Целое число j носит название индекса замкнутой кривой N по отношению к рассматриваемому векторному полю. Окружим простой замкнутой кривой N какое-нибудь одно состояние равновесия, какую-нибудь одну особую точку. Как мы видели, если эта замкнутая кривая не содержит других особых точек, то индекс не зависит от формы этой кривой и, следовательно, определяется характером особой точки. Поэтому индекс такой замкнутой кривой можно отнести к самой особой точке и говорить об индексе Пуанкаре рассматриваемой особой точки.
Непосредственным рассмотрением (рис. 251) нетрудно убедиться, что индексы Пуанкаре для центра, узла и фокуса равны 1, индекс Пуанкаре для седла равен — 1. 340
динамические системы второго порядка
[гл. ¦ V
Также непосредственным рассмотрением нетрудно убедиться в справедливости следующих утверждений:
1) индекс замкнутой кривой, не содержащей внутри себя ни
2) индекс замкнутой кривой, содержащей внутри себя несколько особых точек, равен сумме индексов этих точек ');
3) индекс замкнутой кривой, являющейся одновременно замкнутой траекторией системы (5.1), равен -)- 1 (см. рис. 251, случай центра), так как тогда направление вектора каждый раз совпадает с направлением касательной к кривой N;
') Рассмотрим замкнутую кривую N, содержащую несколько особых точек. Разобьем область, ограниченную кривой N1 при помощи проведения внутренних кривых («перегородок») на меньшие области с таким расчетом, чтобы каждая из получившихся областей содержала по одной особой точке. Тогда угол, на который повернется вектор при обходе кривой N, равен сумме углов, на которые повернутся векторы при обходе отдельных областей, если все эти области обходить в одном и том же направлении; углы поворота, получающиеся при обходе внутренних перегородок, взаимно уничтожаются, так как каждая такая перегородка обходится дважды: один раз в прямом, другой раз в обратном направлении. Отсюда вытекает утверждение 2). индексы пуанкаре
341
4) индекс замкнутой кривой, вдоль которой векторы, определенные системой (5.1), направлены либо все внутрь, либо все наружу (эта замкнутая кривая представляет собой «цикл без контакта»), равен -(-1 (см. рис. 251, случай узла)1).
Эти утверждения, полученные путем непосредственного рассмотрения, т. е. в сущности путем рассмотрения отдельных примеров
и некоторых соображений о непрерывности, опирающихся на геометрическую интуицию2), могут быть строго доказаны, например аналитически. Прежде чем перейти к выводам из этих утверждений, дадим несколько примеров такого аналитического рассмотрения.
Нетрудно видеть, что индекс замкнутой кривой N по отношению к векторному полю, определяемому системой (5.1), может быть выражен криволинейным интегралом:
_ 1 ? d |arct?? Q(*>y)} _ 1 <C PdQ-QdP
J-2*yd IarctS P (.*, у)\ — 2« J Q2 + /* •
