Теория колебаний - Андронов А.А.
Скачать (прямая ссылка):
Могут представиться следующие возможности:
1) Или мы дойдем до точки Q' отрезка L, соответствующей s = s', для которой последующей будет конец В (или А) отрезка L (рис. 243). Тогда точки L, соответствующие значениям s^>s' (или s<^s'), не будут уже, в силу свойства II, иметь последующих на отрезке L и функция последования не будет определена для значений s s' (или s s'). В этом случае мы, вообще говоря, можем удлинить отрезок без контакта и, следовательно, увеличить интервал значений s, для которых определена функция последования *).
2) Или мы дойдем до такого значения s = s', что все точки отрезка L, соответствующие значениям s на интервале s0<^s<^s' (или s'<^s<^s0), будут иметь последующие, а точка Q', соответствующая s = s', не будет иметь последующей на отрезке L.
Можно показать, что в этом случае траектория, проходящая через точку Q', будет кончаться в особой точке, не пересекая больше L. В том случае, когда мы имеем лишь простые особые точки, эта точка может быть только седлом2).
Может случиться, что точки, соответствующие значениям s>s', опять имеют последующие. Таким образом, у нас имеется функция последования для s<^s' и для s^>s'. Для s = s' функция последо-
') Удлинение отрезка без контакта возможно до наступления соприкосновения с фазовыми траекториями.
2) Эта точка не может быть ни узлом, ни фокусом. Действительно, предположим, что траектория, проходящая через Q', кончается (не пересекая уже больше L) в узле или фокусе. Тогда, как нетрудно показать, все траектории, проходящие через точки L, соответствующие значениям s, меньшим (или большим) s', но достаточно близким к s', также кончались бы в этой особой точке, не пересекая уже больше L. Но отсюда следовало бы, что точки, соответствующие значениям s1 меньшим s', не имеют последующих, что противоречило бы нашему предположению. § 7] ТОЧЕЧНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ И ПРЕДЕЛЬНЫЕ ЦИКЛЫ 331
вания неопределенна (рис. 244 и 245). Однако иногда говорят об этих
двух функциях последования (одной для s<^s', другой для
как об одной функции последования, и тогда при значении s = s'
эта функция будет, вообще говоря, претерпевать разрыв в том смысле, что /(s' + 0) ^/(sr —0).
2. Устойчивость неподвижной точки. Теорема Кенигса. Итак, если мы знаем точечное преобразование некоторого отрезка L самого в себя (знаем функцию последования), то задача отыскания замкнутых фазовых траекторий (предельных циклов), пересекающих этот отрезок, сводится к нахождению неподвижных точек, т.. е. таких точек s* отрезка L, для которых
f(s*) = s*.
Графически мы можем найти эти неподвижные точки как точки пересечения на плоскости s, s, на так называемой диаграмме Ламерея, 332
ДИНАМИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ ВТОРОГО ПОРЯДКА
[гл. ¦ V
кривой s=f(s) (графика функции последования) и биссектрисы s = s (рис. 246).
Существенно, что функция последования позволяет не только найти предельные циклы, но и решить вопрос об их устойчивости, так как характер ее поведения вблизи неподвижной точки полностью
определяется характером поведения фазовых траекторий в окрестности предельного цикла. С целью определения устойчивости предельного цикла рассмотрим последовательности точек пересечения с отрезком L фазовых траекторий, лежащих в некоторой окрестности предельного цикла, которому соответствует неподвижная точка S*, — последовательности точек:
(5)
S=f(SJ
S'
Рис.
246.
S, Si, Si
лп+и
в которых каждая последующая точка, очевидно, определяется по предыдущей функцией последования, т. е.
Sl= f(s), Si=Z(St),..., Sn+1=f(sn),...
Если какая-либо из этих фазовых траекторий стремится при /->-|-оо к предельному циклу, то соответствующая последовательность (5) будет иметь своей предельной точкой неподвижную точку S*. И наоборот, из сходимости последовательности (5) к неподвижной точке S* мы можем сделать вывод, что соответствующая ей фазовая траектория стремится к предельному циклу при t—> оо.
Если предельный цикл устойчив, го (в силу определения устойчивости) существует такая его окрестность (є), что все фазовые траектории с начальными точками в этой окрестности асимптотически
приближаются к предельному циклу при /->-|-оо. Но это одновременно означает, что на отрезке L существует окрестность (є*) неподвижной точки s* — часть отрезка L, лежащая в двумерной области (є) (рис. 247), такая, что каждая последовательность (S) с начальной точкой в окрестности (є*) сходится к неподвижной точке S* (т. е. при любых«, принадлежащих (є*), sn^>s* при со).
Будем называть неподвижную точку точечного преобразования устойчивой, если существует такая ее окрестность (є*), что все по-
Рис. 247. § 7] точечные преобразования и предельные циклы
333
следовательности
S, S1, S2.....Snt Sn^it . . .
с начальными точками s в (г*) сходятся к этой неподвижной точке. Тогда сказанное выше, очевидно, означает, что устойчивому предельному циклу соответствует устойчивая неподвижная точка, причем, как нетрудно видеть, это соответствие является взаимным.
Наоборот, неподвижную точку s* мы будем называть неустойчивой, если в любой сколь угодно малой ее окрестности найдется (хотя бы одна) такая точка s, что последовательность s, su ... не сходится к s*. Она, очевидно, соответствует неустойчивому предельному циклу, так как существование таких последовательностей точек, начинающихся в любой сколь угодно малой окрестности неподвижной точки и не сходящихся к ней, говорит о наличии в сколь угодно малой окрестности предельного цикла фазовых траекторий, уходящих от него при t—>--|-оо.
