Теория колебаний - Андронов А.А.
Скачать (прямая ссылка):
[cp' - Df'] g - f 5 = P (ср - Ф + Dcp'),
W + S + ё = Op - vV > tIj + V)-
_ du dv
Разрешая относительно и , получим:
du_Р('р — г»'У, <l> -)- v<f') f'~i~Q(<f — vi', б v<p') 'V
_= _ )
dv_ — P(<f — v'Y, ^ + py') + oy"] + <3 (v — рф1', 41+ PfW- рф"]
~dt D
или после деления одного из уравнений на другое:
dv_
du
_-р(ч-уу, Ф + оу')№' + оЛ + 0(У-оф', + QV') [?' — оф"] ««ч
Р(<Р — vl', ^ !»ср') ' Q (Y — v'Y, b + •
Принимая во внимание тождества
Р(ср, = QCT. = (5.57)
нетрудно убедиться в том, что знаменатель правой части уравнения (5.56) не обращается в нуль при d = 0, а следовательно, и в некоторой окрестности предельного цикла v = О (в том, что предельный цикл d = O является интегральной кривой уравнения (5.56), нетрудно убедиться прямой подстановкой d = O в это уравнение)1). Кроме того, правая часть этого уравнения, очевидно, есть периодическая функция и с периодом Т.
Возьмем в качестве отрезка без контакта L отрезок нормали и = 0 (очевидно, тот же отрезок будет соответствовать и=Т и вообще и = пТ, где п — целое число) и обозначим через
d=<I>0*, s) (5.58)
решение уравнения (5.56), удовлетворяющее начальному условию: D = s при и= 0, — уравнение фазовой траектории, проходящей через некоторую точку M (d = s) отрезка L. В силу теоремы о непрерывной зависимости решений уравнений (5.1) или уравнения (5.56) от начальных условий, всякая фазовая траектория, пересекающая
') В этой окрестности уравнение (5.56) не имеет особых точек и, следовательно, каждая интегральная кривая состоит из одной фазовой траектории. § 7] точечные преобразования и предельные циклы 337
(при t = t0) отрезок L в достаточно малой окрестности точки пересечения с ним предельного цикла (эту точку мы будем обозначать через M0), пересечет этот отрезок еще раз при і, близком к t0 -)- T
(соответствующее и = T, так как вблизи предельного цикла ^ близко к единице). Поэтому координата последующей точки пересечения траектории (5.58) с отрезком L, очевидно, определится соотношением
v = s=<S>(T,s)=f(s). (5.59)
Эта функция последования, существующая в некоторой окрестности точки M0, определяет точечное преобразование отрезка L самого в себя (в той же окрестности), причем, конечно, точка Al0(D = S = O) является неподвижной точкой.
Устойчивость неподвижной точки M0 (а следовательно, и устойчивость предельного цикла C0) определяется, очевидно, величиной /'(0). Покажем, как можно найти значение (0), зная функции Р(х,у) и Q(x,y). Как мы уже видели, знаменатель правой части уравнения (5.56) не обращается в нуль в некоторой окрестности предельного цикла (при | v | =? А). Поэтому в этой окрестности правая часть уравнения (5.56) является аналитической функцией и может быть представлена в виде ряда по степеням d; тогда
fu = Ai {и) V + Л2 (н) D2+... (5.56а)
(коэффициенты ряда Ai, A2,... суть периодические функции и с периодом Т). Воспользовавшись тождествами Р'ху' -)- Pyty' = ср" и QW + QjtK = ф" (они получаются дифференцированием тождеств (5.57)), нетрудно подсчитать, что
A1(U)=P1x-^q;.-fu in о?"+ «п.
С другой стороны, так как решения уравнений с аналитическими правыми частями являются аналитическими функциями начальных условий (см. Дополнение I), то решение (5.58) есть аналитическая функция s и может быть разложено в ряд по степеням s:
D = Ф (и, s) = Cii (и) S -)- (н) S2 +...
(свободный член равен нулю, поскольку значению s = 0 соответствует предельный цикл d = O). Для нахождения функций аг (и) подставим этот ряд в уравнение (5.56а) и приравняем коэффициенты при одинаковых степенях s. Тогда мы получим:
а[ (и) S + а'2 (и) S2 +... = Ai (и) Ja1 (н) s + а2 (н) s2 +...] -(-+ As (н) [а, (н) S + а2 (и) s2 +...]«+...
и
Ui = Ai (и)аь
а'2 = Ai (и) аг -f- А, (и) а?, 338
ДИНАМИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ ВТОРОГО ПОРЯДКА
[гл. ¦ V
Интегрируя эти рекуррентные дифференциальные уравнения при начальных условиях:
а,(0) = +1 и аг(0) = 0 (i = 2,3,...)
(последние получаются из очевидного тождества: Ф (0, s) = s), можно найти коэффициенты разложения функции Ф (и, s). В частности
и и
in а, (и) = J A1 (t) dt = J (р;+с?;) dt - in
о о
и, следовательно,
т
\ (р'х + Qy л Г (O) = Ci1 (T) = еЬ
(в силу того, что функции ср и ф, а значит и их производные, суть периодические функции с периодом Т).
Таким образом, рассматриваемый предельный цикл C0 устойчив, если его характеристический показатель
T
і
h:
1
О"
и неустойчив, если
/г> 0
і
<=т\[р'Лъ ?) + ?Op. *)]<#< О,
(ибо в первом случае 0<^/'(0)<^1, а во втором /'(0)^>1)-
§ 8. Индексы Пуанкаре
Прежде чем переходить к рассмотрению задач о движении конкретных динамических систем второго порядка, нам придется изложить некоторые общие теоремы о свойствах фазовых траекторий, а также некоторые способы качественного исследования фазовых портретов динамических систем, которые позволяют получить некоторые, часто весьма неполные сведения о характере фазовых траекторий и, следовательно, о характере движений той или иной динамической системы.
