Стабилизация сверхпроводящих магнитных систем - Альтов В.А.
Скачать (прямая ссылка):
образом, вполне допустимо считать, что установление распределения поля в
резистивном состоянии происходит быстрее, чем достигается температурное
равновесие. Можно показать, кроме того, что использование подобного
допущения приводит к значению критерия устойчивости с некоторым запасом.
Действительно, если тепло будет успевать отводиться от тех участков, где
оно выделяется, то условия работы сверхпроводника только облегчаются.
Естественно в таком случае не учитывать и влияние окружающей
сверхпроводник оболочки, т. е. считать, что он находится в условиях
адиабатической изоляции.
В такой постановке удается решить задачу об устойчивости критического
состояния достаточно строго. Подобные решения были впервые построены
Уипфом [Л. 9-6], .а также Шварцем и Бином (Л. 9-71], которые
рассматривали характер равновесия при малых отклонениях внешнего поля от
исходного значения.
Приведем несколько упрощенный вывод критерия устойчивости {Л. 9-5], а
также наметим схему более строгого решения, основанного на исследовании
развития малых температурных возмущений. Предположим, что по всей толщине
сверхпроводника происходит бесконечно малый скачок температуры ДГ0. В
результате плотность критического тока уменьшится на величину
ДЛ:=^Д Т0 (9-7)
и произойдет перераспределение поля, которое должно теперь определяться
новым значением критического тока 252
(рис. 9-4). Подсчитаем Для Такого Перераспределения плотность тепловых
потерь
Д q (х) = j* JE dt =& Jc ДФ = - JcP о A J (b-------------------1- j
х =
ж ГО/
= -- IV'<
АД,. (9-8)
Как видно из этого соотношения, тепловыделение происходит неравномерно по
сечению, причем так, что в центре образца мощность потерь обращается в
нуль. Это легко понять, если учесть, что в этой области электрическое
поле и плотность тока меняют знак.
Для дальнейшего приближения усредним потерн по всему сечению
ь
bj = ±-^bq{x)dx^ _2?.йус"?дго. (9-9)
о
Заметим, что средние потери равны изменению энергии экранирующих токов.
Таким образом, в результате перераспределения поля происходит
дополнительное увеличение температуры на величину
дГ, = *L= _ ^ ЬЧС $ ДГ0. (9-10)
1 с 3 с UI
Этот нагрев приведет в свою очередь к новому перераспределению поля, т.
е. к новому нагреву и т. д. Конечная температура после нескольких таких
шагов равна сумме членов геометрической прогрессии со знаменателем,
определяемым формулой (9-10).
Если эта величина не превышает единицы, то процесс должен быть
сходящимся. Отсюда получаем следующий важнейший критерий адиабатической
устойчивости:
(9-П)
Иногда это неравенство приводят к следующему более удобному виду:
Т -- J I -
la- Jc I dT ¦
(9-13)
Поскольку на основании (4-3) дл" большинства материалов
7С (Т) ^ Jc (Тв) ^1 - (9-14)
имеем
Го-Гсо-Тв. (9-15)
Критерий (9-12) можно представить в ином виде, введя понятие о поле
экранирования НР = ЫС:
я-<(^)т- (?И6>
Приведенный вывод критерия адиабатической устойчивости со-
держал несколько не вполне последовательных допущений. Так, не совсем
ясна законность ступенчатого представления процесса и обоснованность
вывода о его сходимости. Кроме того, вопреки предположению об отсутствии
теплообмена в образце, все выделяющееся тепло было распределено
равномерно по сечению. Оказывается, однако, что эти допущения приводят
лишь к весьма малым отличиям от строгого результата, сводящимся к
несколько иному численному коэффициенту в окончательной формуле (9-11).
Строгий вывод точного критерия можно провести, например, следующим
образом.
В соответствии с принятыми предположениями распределение тока успевает
"следить" за температурным распределением, т. е. всегда справедливо
соотношение
dlc
1=1с+-фАТ. (9-17)
Мощность тепловыделения может быть поэтому представлена в виде
х х Ь
q (X) = /?=& - /СФ = /С J =/СЩ) J -щ- J / (tj) df\=
О
X ?
= /ср." Jdl ^
о
X ?
dJc дТ
dl>~?ГЖ¦ (9'18>
Отсюда легко получить следующее уравнение теплопроводности для малого
приращения температуры Р(х, t):
254
•Jt______. , т Г ,е f , djc dp
dt - дх2 + 1с[Х° J ^ J ^ д'Г dt '
(9-19)
Произведя двукратное дифференцирование по х, имеем:
и."/1
с'р" = Ц1У - - р. (9-20)
1 0
Развитие возмущения |3(х, t) исследуется далее аналогично тому, как это
было сделано в § 5-5, хотя здесь имеет место несколько
более сложный случай. Представим Р в виде ряда по некоторым
гармоникам, которые можно затем определить:
р=5>а(о*ам- ('9-21>
Л
Подставив один из членов этого ряда в исходное уравнение и преобразуя
его, получим:
¦ Л. (9-22)'
Здесь мы приравняли, как обычно, оба члена некоторой константе Л,
поскольку обе части равенства являются функциями разных переменных.
Спектр Л определяется с помощью уравнения
XX
IV
Г I
- Л I сХ"ь + -Г)- *AJ = 0. (9-23)
Граничные условия на концах рассматриваемого отрезка определяются
условием адиабатичности
Х'А(Ь) = Х'А (-6) - 0. (9-24)
К нему следует присоединить некоторые дополнительные условия. В точке
х = 0 тепловыделение обращается в нуль, что автоматически
