Задачи механики сплошных сред со смешанными - Александров В.М.
Скачать (прямая ссылка):
В предположениях А на основании соотношений (9.21),
(9.25) можно представить уравнение (9.5), (9.6) в эквивалентном ему виде интегрального уравнения второго рода
ф‘(ж) = со1 (х) Х~1 (х),
(9.37)’
X J Фі (S) In (-Ц7-) — tS (ли) 4 (-Цг-)] н + ^sin ^ +
sin (2лц) j Фі (S) [і'и (Іуї) - tg (Jifi) 4 (9.38)
§ 9. КОНТАКТНЫЕ ЗАДАЧИ С ПОЛНЫМ РАЗДЕЛОМ
257
при дополнительном условии
I ( I 11
.,і Г cos (яц) J f fi(t)dt I ? dt /f\w
ArO= J Фі (%)dl “In X + o j Y (t) л J Y (f) J Фї (S) х
-I ^1-1 -1 “І
X [/„ (1^1) - tg (яц) In dl . (9.39)
Допустим теперь, что для функций lij(t) действительны следующие разложения (сравните с (8,34), (8.35) гл. 2):
h (t) = 2 (aiik + bjjk I і I + Cjjk ln|t|) t'k, k=0 (9.40)
^i2 (0 = 2 (a12ft + Ьi2kt In I t I + Ci2/; Sgn t) t (Cjj0 = 0),
fe=0
равномерно сходящиеся при всех ]z] < р. Тогда все результаты, основанные на (9.40), будут справедливы по крайней мере при всех % > 2р-1. Подставим выражения (9.40) в уравнение (9.38) и будем искать его решение в виде
OO OO
cPi(Z)=S S tPimn(Z)^rm InnX, (9.41)
т.—о п=о
Приравнивая коэффициенты в правой и левой частях (9.38) при одинаковых степенях %г1 и InX, получим бесконечную систему соотношений для последовательного определения функций фітп(ж), которую здесь не приводим.
В контактной задаче с трением для упругой полосы, поставленной в предыдущем параграфе, в соотношениях (9.40), как нетрудно убедиться, нужно ПОЛОЖИТЬ Ъцъ = Cijft = 0, причем р = 2. Если при этом функция /, (X) — полином, то при определении <Pimn(;r) из указанных выше соотношений все квадратуры берутся в замкнутом виде с помощью формулы (9.29); кроме того, все квадратуры также берутся в замкнутом виде с помощью формул (9.29) и (9.42) (см. ниже), когда в соотношениях (9.40) только Ьт = C12ft = 0. В общем случае может быть произведено приближенное определение нескольких первых функций ф Imn (Z), подобно тому, как это указано в п, 3 § 8 гл, 2. После нахождения пужного числа функций Cptmn (х) (в зависимости от желаемой точности решения (9,41)) по формуле (9.39) определим величину JV0. Все сказанное здесь о методе «больших X» справедливо и для системы интегральных уравнений (9.3), (9.6)', Подробное изложение метода «больших X» в применении к контактным задачам со сцеплением имеется в [34].
В. М. Александров, Е. В. Коваленко
258 ГЛ. 4. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ СМЕШАННЫХ ЗАДАЧ ДРУГИХ ТИПОВ
С учетом спектрального соотношения Г. Я. Попова [32]
номы Якоби, для системы уравнений (9.3), (9.6) и для уравнения (9.5), (9.6) можно также развить метод ортогональных многочленов по схеме § 1 гл. 3. Такой метод будет, очевидно, эффективен также при достаточно больших X.
7. Асимптотический метод «малых X» может быть также применен для исследования интегральных уравнений (9.3) и (9.5). Продемонстрируем это на примере уравнений (9.3), поскольку приведенные ниже результаты в частном случае будут справедливы и для уравнения (9.5).
Перепишем систему интегральных уравнений (&.3) в виде
Уравнение (9.43) удобно решать методом последовательных приближений по схеме [33]
Асимптотическое решение интегрального уравнения (9.44) при малых X может быть построено примерно так, как это описано в § 10 гл. 2. Действительно, представим уравнение (9.44)
- Ctg (лц) In 11 — ж I + ^ SgH (I — х)\ -n-V,>(S) =
-1
-1
= л>.„Р<Г'і+,/,,'і+’/’)(*), ХП = (П8ІП(ЯЦ)Г1 (n> I), (9.42)
2>.0 = л sec(ftji)— 2 csc(зт|л)[In 2 + if)(0,5 + (я) —
где if) (я)—по-прежнему пси-функция Эйлера, -Pna*^ (#)— поли-
1
-і
<р(^) = фі(іс) + їфг(^), k(t)= A11(J)+ ігк12(і), (9.43)
і
g{x) = f{x) + Z ( Im ф (I) M (-Цх) d^lf M M = ^22 W ~ kl1
f(x) = fi(x)+ifz(x).
Ф„(x) = Ф,„(x) + іф2„(x)ф(ж). (n->- °°),
I
jФ» (g) к (Ix^) dl = ngn (X) (| * | < I), (9.44)
gn (x) = f (x) + Z j Фг.п-! (I) M (?^) dl, g0 (x) = f (x).
§ 9, КОНТАКТНЫЕ ЗАДАЧИ С ПОЛНЫМ РАЗДЕЛОМ в виде системы трех интегральных уравнений °° _1 J Ч>1„ (1^jJ * (1^) = Xgn(X)+ J [р2п (l=i) -
259
dl (—1 <; ж <; оо),
1 00 j ^an (^Т^) к ("Чн ) = ngn (х) + J [фш (-
(9.45)
i).к (-°°<®<1),
OO
I Vn (I)к (~чг^) d^ = ngn ^ (Iх I < °°)*
(9.46)
Ф,
: (X) = Ъп (1^j + (jSr) - V11 ( f) (| * | < 1), (9.47)
где функция gn (х) с сохранением достаточной гладкости продолжена на интервалы — °о<х<— I, 1 < х < оо. Если ядро k(t) таково, что
k(t)~e~m (5t = const>0, Ы-*-°°), (9.48)
а это как раз имеет место для поставленных здесь (п. 1) ив § 8 контактных задач для полосы, то необходимо gn(%) продолжить так, чтобы
J е ',l,gn (х) dx < OO (v<5t).
(9.49)
Решение интегрального уравнения (9,47) может быть найдено с применением теоремы о свертках для преобразования Фурье (см, § 9 гл, 2).
Интегральные уравнения (9.45) очевидной заменой переменных приводятся к следующим:
OO OO
J (у) к (у — s)dy = лgH [Is —1)+| ^211 (у) —
О 2/Х
~ Гп(т~у) k(j~y~s)dy^ (9-50)
оо оо
J ^2п (у) к (s — y)dy = Tign (1 — Is) + J Ftfiljl (у) —
О г/х
~ V,‘ {У~ I")]* [у + 5 — li)dy (0<s<oo).