Задачи механики сплошных сред со смешанными - Александров В.М.
Скачать (прямая ссылка):
с<*>- ‘.IS-! • ?«=0' <8Л5>
причем G(x)?= 0, оо при 1]. Будем искать решение ука-
занной задачи в виде
®(z) = C(l-z2)-V<2> (С = const) (8.16)
и предположим, что 1Y (z) — аналитическая функция, ограниченная при Z-*- оо. Вспоминая, что при подходе сверху и снизу к разрезу
’) В случае движения все рассуждения следует проводить в подвижной системе координат у' = у, х' = х — Vt, связанной со штампом. Скорость движения штампа V настолько мала, что инерционными эффектами можно пренебречь.
§ 8. КОНТАКТНЫЕ ЗАДАЧИ ПРИ УЧЕТЕ СИЛ ТРЕНИЯ
247
\х\ sS 1 функция (1 — г2) ,/! меняет знак, и подставляя (8.16) в (2.30) гл. 2, получим
ЛМ---------G (*)/-“’ (1*10). (8.17)
Логарифмируя (8.17), имеем
In [-G (х) J = 1Y+(ж) -T- (ж)- (8.18)
Заметим, что подобная задача линейного сопряжения уже возникала ранее (см. (2.32) гл. 2). С помощью формул Сохоцкого из
(8.18) найдем
і
T
<2> - Si J 1Vf' <М9>
Видно, что iY (z) исчезает при z°°.
Далее, вновь по формулам Сохоцкого определим <р (х):
ср(а:) = Ф+(а:) — Ф-(ж), (8.20)
где Ф(г) дается соотношениями (8.16) и (8.19).
Применяя теперь формулы (8.15), (8.16), (8.19) и (8.20) для исследования первой из указанных выше ситуаций (рис. 4.5, а), получим
In [— G(x)] = In \ = 2лФ. H = ^arctgefc,
Т(2)=н-1п[(1-2) (1 + z)-1], (8.21)
ф(ж) = D(I — x)-'ll+»(i + х) (D = const).
С помощью соотношения (6.19) выразим постоянную D через N0. Будем иметь
D = n~lN0 cos л(я. (8.22)
Наконец, используя условие (8.13), найдем величину эксцентриситета е:
є = —2 \иа. (8.23)
Для второй ситуации (рис. 4.5, б) получим
In [-G (х) ] = 2і arctg [е? (х) ] = 2і&цх,
•и -а [2 + Sln(I^i)], (8.24)
Tl
/ ч D (1-ху^л ..
Ф(®) = у==-cosETia^j-p^J (D = const).
Снова с помощью соотношения (6.19) выразим постоянную D
248 гл- 4- МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ СМЕШАННЫХ ЗАДАЧ ДРУГИХ ТИПОВ
через No. Получим
D = N0I (г Tl).
(8.25)
График функции I(х) изображен на рис. 4.6.
В заключение заметим, что формулы (8.21), (8.22) при ц = 0
U 7^fe jtZ3 -rtZz Рис. 4.6
и формулы (8.24), (8.25) при т] = 0 дают решение классической контактной задачи о вдавливании штампа в упругую полуплоскость без трения [3].
§ 9. Контактные задачи с полным разделом граничных условий
1. Рассмотрим самый общий тип плоских смешанных задач на примере контактной задачи теории упругости с полным разделом граничных условий. Именно, пусть на отрезке Ul < а границы у = h упругой полосы заданы упругие перемещения и и и, а на остальной части этой границы \х\>а—напряжения о„ и Tjca. Нижняя граница у = 0 полосы либо шарнирно (1), либо жестко
(2) защемлена. Граничные условия такой задачи будут иметь вид
y = h:u = —'f(x), v = —8(x) (Ы<а),
Ou = Txv = O (\х\>а), (9.1)
у = 0: I) V = Xxy = O, 2) V = U = 0 (Ы<°°),
Ox, Oy, Xxy-^O (Ы оо).
Здесь б (х) — осадка границы полосы под штампом, определяемая формулой (8.6), iY(х)—функция, описывающая закон перемещения точек границы полосы в области контакта в горизонтальном направлении. Например, для случая не деформируемого штампа, жестко сцепленного с границей полосы, 1Y (х) = 1Y = const. Поставим целью определить закон распределения нормальных и тангенциальных контактных напряжений ау(х, /г) =—q(x), хху(х, h) = = —х(х) (Ы sS а).
Для решения смешанной задачи (9.1) воспользуемся формулами (8.2), (8.3), определяющими трансформанты Фурье пере-
§ 9. КОНТАКТНЫЕ ЗАДАЧИ С ПОЛНЫМ РАЗДЕЛОМ
249
мещений верхней границы полосы для вспомогательной задачи с краевыми условиями (8.1). Удовлетворяя с помощью указанных формул первым двум граничным условиям (9.1) (остальные удовлетворены в ходе решения вспомогательной задачи (8.1)) и вводя безразмерные переменные и обозначения
= х = ха~*, % = Jiar1, (fi(x') = q(x)Q~l,
(9.2)
(P2OO=TOz)B1, fi (х) = б Or) a~\ f2(x') = ч(х)а~\
приведем рассматриваемую контактную задачу к следующей системе интегральных уравнений [32, 33]:
J Фі (E) *11 (1Ti) dS - е J Фа (E) *12 (1^) « = (X)t
(9-3)
Е J Фі (E) *2i (1Xi) dE + j ф2 (E) &22 (1Xi) dE = я/2 (ж)
-I -I
(Ul <1, MO = MO. є = (1 — 2v) [2(1 —v)]_1),
OC OO
(0 "= і ' "" cos ut dl<> *12 (0 = f —12 ^ ^ sin ut du. (9.4)
J U J U
о O
Здесь функции Ljj (и) (/ = 1, 2) и L12 (и) даются формулами
(8.4) или (8.5).
Параллельно с исследованием системы (9.3), (9.4) далее будем также изучать интегральное уравнение (8.10) контактной задачи для полосы с учетом трения вида (8.8) при к(х) = к = = const. В безразмерных величинах (9.2) это уравнение примет форму
I 1
jФі(E)йц (1Xi)dl-кг jФі(E)A18(1Xf) dl =
-I —I
= Kfl(X) (I Ж К I). (9.5)
2. Можно убедиться, что для ядер kn(t) вида (9.4), (8.4), (8.5) имеют место представления
kjj(t) = — ln\t\ + ljj(t), Jcn (t) = -YSgnt + I12 (t), (9.6)
гДе функции Iii{t) непрерывны со всеми производными при Ul =3 < R < Oo5 а на комплексной плоскости w = t + h являются регулярными в круге Iwl <2. Для доказательства этих утверждений нужно повторить с некоторыми усложнениями доказательство леммы 2.5. Далее, однако, ослабим требования к функциям la(t), учитывая важность для теории смешанных задач исследования