Задачи механики сплошных сред со смешанными - Александров В.М.
Скачать (прямая ссылка):
250 ГЛ. 4. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ СМЕШАННЫХ ЗАДАЧ ДРУГИХ ТИПОВ
системы уравнений (9.3) и уравнения (9.5) при минимальных допущениях.
Будем считать, что функции hj(t)— четные, a ln(t)— нечетная по f и все они по крайней мере удовлетворяют условию Гельдера на действительной оси. Дальше на Iii(I) будут наложены дополнительные ограничения. Функции fi(x) будем считать принадлежащими классу Hm (—1,1) (т > 1, 0 < a =? 1)'.
Представим функции фj(x) в уравнениях (9.3) в форме [33]
ФЛ*) = Фі И + ф/(ж)-
(9.7)
Пусть ф® (х) удовлетворяют следующим пптегральным уравнениям:
|ф! (!) [— — 1
In
+ I
11
(0)]«-
J ФгШ)з§п(l~x)dl=nf1(x), —1
(9.8)
1
|ф2°а)[-
In Ji-T-^L + I22
1
(0) dl+Y~ j\p?d)sgn(l—x)dl=nf2(x) -1
(|®|<1);
тогда поправки ф} (х), исчезающие при X -*¦ °°, должны быть най-
дены из уравнении і
|фі(і)[-
— 1
1
J Ф2 (E) [ —
In
Х\
+ hi (0) dl— -H- ^a(I)Sgnd-x)d?,=nf\(x),
— I
(9.9)
I
+ ^22(0) dI + "X Jx)(%,=nf2(x)
-I
(1*1 <•!).:
I
= Jїф"(^) + Фі(ё)3 —і і
±~ J [ф? (S) + ФЇ (S)]
- Ilj (0)] dl :
dl (i = j ± 1),; (9.10).
где знак плюс относится к / = 1, а минус — к j = 2. Точно так же представим функцию фі(ж) в уравнении (9.5) в форме (9.7) и
§ 9. КОНТАКТНЫЕ ЗАДАЧИ С ПОЛНЫМ РАЗДЕЛОМ
251
будем считать, что Ф? (х) удовлетворяет следующему интеграль ному уравнению: і
]ф?(Ю
— In
|5-*1
к
+ (0)
J<p?(?)sgn(!—x)d^=nf1{x)
(М<1).
(9.11)
Тогда поправочная функция фі (х), исчезающая при к °°, долж^ на быть найдена из уравнения
-IS-—!. + J11(O)I
—1
Фі1 (S)
-In
к
dl — ^ ^i(S)sgQ(S—x)dl=nf\(x)
— I “1
(|*I<1), (9.12)
1
/1 (*) = - т j ® [z« (1Tf-) -l* Hdl +
— і
і
+ ? j [фї (S) + фі (S)] I12 [k^dl- (9.13) — 1
3. Интегральные уравнения (9.8) и (9.11) для функций ф" (х), являющихся главными членами асимптотики функций ф;(ж) при больших значениях к, можно представить в виде і
J Фо (S) [— In 11 — XI — Y tg (Hfi) sgn (S — х) dl =
= я/(S)-JV0 [InA,+ Z11 (O)I-Ip0 (И<1), (9.14) где для случая системы (9.8)
Фо (х) = Ф? (х) + ЩІ (х), f (х) = Z1 (ж) + if2 (х), N0 = Nn1 + IN02x
1
Vі = - г'б> 6 = Іln Т=7’ W = j ф" (S) dl, (9.15)
—1
<?o = ^2 [Jaa(O)-Zu(O)], а для случая уравнения (9.11)
Фо(ж) = ФЇ(Ж). f(x) = fL(x), N0 = Nn1, Q0= 0, (9.16)
252 ГЛ. 4. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ СМЕШАННЫХ ЗАДАЧ ДРУГИХ ТІШОВ
Дифференцируя теперь уравнение (9.14) по х, получим (сравните с (8.12))
Ф0 (I) dl
I'
-1
+ я tg (зги) Фо (^)= л/'(ж) (М<1). (9.17)
Для решения сингулярного интегрального уравнения (9.17) вновь введем в рассмотрение аналитическую функцию (2.28) гл. 2 и с помощью формул (2.27) гл. 2 после несложных преобразований придем к задаче Римана — Гильберта (2.30) гл. 2 на интервале \х\ =? 1, где
1 + І tgrcn ,V _ if (х)_
1 —Ii tg я,и, ’ )
G(x)
(9.18)
I tg Я|Х — 1'
Замечая теперь, что согласно (8.17), (8.21) функцию —G(x) вида (9.18) можно представить в форме
ег + (х) /і-z V1
fiM--fW vW-Mt+t)’ <9Л9)
перепишем функциональное уравнение (2.30) гл. 2 следующим образом:
Ф* (х) + ФІ (х) = g (х) е г+(ж) (|ж|<1), -p9f)
Ф*(2) = Ф(2)е-г<г).
Уравнение типа (9,20) уже рассматривалось ранее (см. (2,29) гл. 2), и для завершения решения задачи Римана — Гильберта можно воспользоваться готовой схемой в § 2 гл. 2, В результате решение интегрального уравнения (9,17) получим в виде
і
, > _ COS (яц) Фо W - лХ (X)
Nn
COS
(ли) Ji-
(I) X (I)
dl
1
+ — (х) sin2jt|j,,
(9.21)
Х(х)=~(і +х)'и+»(і-х)'к-».
Чтобы выражение ф0(я) в форме (9.21) удовлетворяло также интегральпому уравнению (9.14), необходимо соответствующим образом определить величину N0. Применим для этого следующий искусственный прием, использованный ранее в § 2 гл. 2. Заметим, что имеет место соотношение [32] і
J — In I E — х\ + Y1S (™и) sSn (Е — ж)] = cos Jlfi Al*
-і
Dil = -[In 2 + С + 0,5г|з (0,5 + ц) + 0,5г|з (0,5 - ц) ], (9.22)
Y (ж) = (1 + гс)•'¦(I — x)'h+>l,
§ 9. КОНТАКТНЫЕ ЗАДАЧИ С ПОЛНЫМ РАЗДЕЛОМ
253
где тр (х) — пси-функция Эйлера, С—постоянная Эйлера [7]. Умножим теперь обе части интегрального уравнения (9.14) на У-1 (х) и проинтегрируем по х в пределах от —1 до 1. Переставив затем интегралы в левой части полученного соотношения, с учетом (9.22) будем иметь
тогда можно утверждать, что формулы (9,15), (9.21) и (9.24) при сделанных относительно функций fj(x) предположениях определяют единственное В Ьр(—1, 1) (1<^<2) решение системы интегральных уравнений (9.8), если X Ф Xj, причем X <= (0, °о), Точно так же формулы (9.16), (9.21) и (9.25) при сделанных относительно функции /, (х) предположениях определяют единственное в Lp(—1, 1) (1<^<и<2, и = 2(1 + 2ц)"1) решение интегрального уравнения (9.11), если ХфХ\.
4. Изучим структуру решения фо(^) интегрального уравнения (9,14). Для этого предварительно приведем некоторые вспомогательные соотношения. Пусть f(x) — четная функция и /(*)е=Я“(-Р,Р) (п> О, О <а<1); тогда, взяв в качестве
