Задачи механики сплошных сред со смешанными - Александров В.М.
Скачать (прямая ссылка):
Математически эта задача формулируется в виде дифференциального уравнения (2.6) гл. 1 и граничных условии (начальные условия отсутствуют)
w(x, 0, t) = ^e-iat (Ul <а), xvz{x, 0, ?).= 0 (Ul > а). (1.1)'
264
ГЛ, 5. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ДИНАМИЧЕСКИХ СМЕШАННЫХ ЗАДАЧ
Внося перемещение w(x, у, t)=Wfj(x, y)e~iat в соотношения
(2.6), (2.7) гл. 1 и (1.1), придем к следующей граничной задаче для уравнения Гельмгольца:
Aw0 + (O2C22W о = 0, (1.2)
dwn
y = 0:w0 = y (I х |< a), -^ = O (|®|>а). (1.3)
Как известно [1—3], такое понижение размерности исходной задачи (2.6) гл. 1, (1.1) требует формулировки дополнительных условий на бесконечности для отбора единственного решения краевой задачи (1.2), (1.3). Разумеется, эти условия должны быть не только математическими, а иметь здравый физический смысл. В настоящее время обычно используются следующие четыре критерия отбора [3]:
1. Принцип излучения Зоммерфельда требует, чтобы на больших расстояниях от источника возбуждения решение задачи
(2.6) гл. 1, (1.1) носило волновой характер и распространение волн происходило от источника в бесконечность. Другими словами, бесконечность не может отражать волн. Это для рассматриваемой задачи означает [1], что при г = Уж2 + у2 °°
W0 (X, у) = О ), ^ ^ W0 = о (1.4)
2. Энергетический принцип излучения Мандельштама констатирует тот естественный факт, что энергия в упругой среде при возбуждении ее в ограниченной области распространяется от источника возбуждения в бесконечность.
3. Принцип предельного поглощения Игнатовского состоит в том, что в правую часть уравнения (2.6) гл. 1 вводятся силы трения EW (е>0). Тогда уравнение Гельмгольца (1.2) и грапич-ные условия (1.3) трансформируются в следующие:
Aw* + к\w* = 0 (k\ = C-T2M2 + гює), (1.5)
w* (х, 0) = у (|ж|<а), [w*{x, У)]у\у=0 = 0 (М>я), (1-6)
причем амплитудные значения напряжений на бесконечности исчезают. За решение задачи (1.2), (1.3) берут предел
W0 = Iim w*, (1.7)
?->0
понимаемый в смысле сходимости в L2(Q) (Q — полуплоскость г/< 0, |ж|<°°). Доказано [3], что если (о2с^2 является регулярной точкой оператора А = —Д, то решение в указанном смысле существует и единственно.
4. Принцип предельной амплитуды Тихонова — Самарского заключается в том, что решение уравнения (1.2), (1.3) должно
§ 1. АНТИШІОСКАЯ ЗАДАЧА О КОЛЕБАНИЯХ ШТАМПА
265
быть пределом при t-+°° произведения W (х, у, t)eiat, причем W(х, у, t) удовлетворяет уравнению (2.6) гл. 1 с нулевыми начальными условиями и граничными условиями (1.1).
В настоящее время вопрос об эквивалентности перечисленных принципов для любых краевых задач теории упругости еще до конца не выяснен. Некоторые результаты по этой проблеме содержатся в [3—5].
Заменяя исходную краевую задачу (1.2), (1.3) в согласии с принципом предельного поглощения на задачу (1.5), (1.6) и применяя для решения последней интегральное преобразование Фурье по х, как и в § 5 гл. 1, придем к интегральному уравнению первого рода с нерегулярным разностным ядром относительно неизвестного амплитудного значения касательного контактного напряжения г(х):
а °°
J т (I) dl J -yJ ехр f ia du = 2л6’7 (|®|<а), (1.8)
|i = с2(о-1, б2 = 1 + гем[х2.
Заметим, что уравнение (1.8) может быть получено также из
интегрального уравнения (5.29) гл. 1 предельным переходом при Ji-+ °
Подынтегральная функция в ядре уравнения (1.8) имеет две точки ветвлепия:
% = ±У 1 + гем[х2 (Z, = u + iv), (1.9)
которые не попадают на вещественную ось при є > 0. По принципу предельного поглощения в левой части соотношения (1.8) необходимо совершить предельный переход при є -> 0, взяв равномерный предел. Легко заметить, что после предельного перехода точки ветвления (1.9) окажутся чисто вещественными: в = ±1, причем точка ветвления, соответствующая и = —1, смещается на вещественную ось снизу, а точна ветвления, соответствующая и = 1,— сверху. Итак, при є -> 0 представим выражение (1.8) в форме
а
j Г (I) k[^)dl ^nGg(X)
— а
k(t) = ^K(l)e^dl, K(I) г
Контур Г в соотношении (1.11) совпадает с действительной осью. Однако, поскольку при є -> 0 обнаруживаются вещественные точки ветвления у символа ядра K(C), то для однознач-
(U|<a), (1.10)
= (С2-If’'2. (1.11)
66 гл. 5. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ДИНАМИЧЕСКИХ СМЕШАННЫХ ЗАДАЧ
ности толкования интеграла (1.11) деформируем контур Г так, чтобы он обходил положительную точку ветвления снизу, а отрицательную—сверху (рис. 5.1).
Имеет место следующая [3]
Теорема 5.1. Если на положительной части вещественной оси мнимая часть функции K(t,) знакопостоянна, то иптеграль-
B (1.13), (1.14) Jo(t) и N0(t)—функции Бесселя первого и второго рода, ф (х) = <р, (х) + г<р2 (х), / = /, + г/2.
Рассмотрим вначале случай больших значений параметра Л (случай малых частот колебаний штампа). Раскладывая функции N0(t) и /„(f) в ряды при малых f [6], будем иметь
MO = InUI S dlnt*n + 2 dmt*nx K(t) = 2 d3nf\ (1.15)
п=0 n=0 n=0
dio = —I; du = 0,2500; diZ = -0,01562;
^20 = 0,1159; du = -0,2790; d22 = 0,02524;
