Задачи механики сплошных сред со смешанными - Александров В.М.
Скачать (прямая ссылка):
Лемма 4.2. Если /(ж)є#“(—1,1), то решению ф(ж)' из класса L9(—il, 1) (1<р<4/3) интегрального уравнения (7.7)'
соответствует последовательность чисел (Bi из класса Z2, удовлетворяющая бесконечной системе линейных алгебраических уравнений (8.11) гл. 3,- где Xn определяются формулой (7.20), а /„, (On и етп(Х) — коэффициенты рядов (7.22), (7.26) и (7.28). Наоборот, любому решению {о»;} из класса Z2 указанной алгебраической системы соответствует решение ф(і)ЄІ,(-1, 1) (1<р<
<7з) уравнения (7.7).
Лемма 4.3. Для коэффициентов ет„(Х) вида (7.28) имеет место следующая оценка:
I етп (X) I < Sn 2п2гзяз(2^_|_ 4) Ф» + th г)’
D2 = max I ml (Z) |, D3 = max | т'з[ (t) | (|?|<оо), (7.29)
6Л = [га(га+I)]-1 (п> 1), б0 = я.
Доказательство лемм 4.2 и 4.3 полностью повторяет доказательство аналогичных лемм 3.4 и 3.5.
Теорема 4.4. Оператор, стоящий в правой части системы
(8.11) гл. 3, действует из Z2 в Z2 вполне непрерывно при всех X е (0, оо) и является оператором сжатия при Я,>Л0. Постоянная X0 находится из уравнения
’(г)=ті (4 + ~
= 1. (7.30)
Теорема доказывается .по аналогии с теоремой 3.8 с учетом формул (7.24), (7.29). Из теоремы 4.4 вытекает:
1) при Х>Х0 решение бесконечной алгебраической системы
(8.11) гл. 3 в пространстве Z2 существует и единственно, может быть получено с любой степенью точности методом последовательных приближений и справедлива оценка (3.23) гл. 1;
2) с учетом леммы 4.2 можно заключить, что при Х>Х0 решение интегрального уравнения (7.7) в пространстве Lp(—I, 1) (1 < р <4/3) существует и единственно;
3) бесконечная алгебраическая система (8.11) гл. 3 может быть аппроксимирована конечномерной, т. е. для ее решения можно использовать метод редукции; кроме того, система (8.11) гл. 3 также однозначно разрешима почти при всех X < X0.
Заметим еще, что система (8.11) гл. 3, эквивалентная интегральному уравнению (7.7), может быть еще преобразована к виду (8.16) гл. 3, удобному для изучения в классе Z1. Можно доказать, что в форме (8.16) гл. 3 система будет квазивполне регулярна при всех X и вполне регулярна при достаточно больших X. Практическое использование изложенного метода показывает, что метод редукции для системы (8.11) гл. 3 или (8.16) гл. 3 быстро
§ 7. ДРУГИЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ТИПА с)
239
сходится вплоть до малых значений А. Редукцию системы целесообразно производить так, как это описано в § 1 гл. 3.
5. Покажем [26], как для построения приближенного решения интегрального уравнения (7.7) при всех X є (0, оо) может быть применен алгоритм дискретизации Мультоппа — Каландия (см. § 9 гл. 3). Запишем уравнение (7.7) в переменных и обозначениях (7.10). Будем иметь
і і
— JtODln di\ = ng(y) — (л) To8 (л, У, Я.) Л) (0<у<1),
о о (7.31)
(Л, у, X) = т3 (^xf) — ms (—|р)-
Заметим, что интегральное уравнение (7.31) только обозначениями отличается от уравнения (9.14) гл. 3, поэтому здесь полностью может быть повторена схема п. 2 § 9 гл. 3.
Приведем окончательные результаты. Приближенное решение интегрального уравнения (7.7) может быть построено по формуле i+1 і
f <*> - й+іТЛЛТгг—ігг: 2 <“* <е"> J1008 <2“ - ‘)в« X
<7-32>
Qn = я (2п — I) [4 (Z + d)]_1 (п = 1, 2, .. ., Z + 1),
где величины ю*(0„) находятся из системы линейных алгебраических уравнений
1+1 ^ ' 1 cos (2m — 1) 0' cos (2т—1) 0^
г + 1
п=1
2т — 1
т=і
= ^(Qj) (/’ = 1,2....,/ + 1, (7.33)
в которой введены обозначения
(О* (0) = (cos 0) sin 0, g* (0) = g(COS 0) ,
mS (x, ^) = -3 (cos X, COS 0, X). (7.34)
Сходимость изложенного метода дискретизации с ростом числа і узлов коллокации наблюдается при всех X, причем при заданной, точности приближенного решения геличина Z не превосходит некоторого значения Zо (Z0 = 3 — 5).
6. Перейдем к рассмотрению интегрального уравнения (6.19) с общей правой частью /(і)'Є^(—1,1) (72<а<1) и ядром
(6.20), где k(t) имеет вид (7.5), а функция mb{t) в (7.5) обладает указанными в п. 1 свойствами. Дифференцируя почленно это
240 ГЛ. 4. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ СМЕШАННЫХ ЗАДАЧ ДРУГИХ ТИПОВ
уравнение по х, получим
I 1
пС j ф (g) ^rleJg2rx dl = StKft (ж) + J ф (? тя dl (| ж |< 1).
(7.35)
Заметим, что в левой части интегрального уравнения (7.35) стоит главная (сингулярная) часть интегрального оператора, причем ядро этого оператора может быть представлено в форме
5 Irth 18'?- Р-3»)
г
где прямая Г лежит ниже вещественной оси. Второй член в правой части уравнения (7.35) представляет собой малую при всех X регулярную добавку.
Решение уравнения (7.35) с отброшенным интегральным членом в правой части, т. е. решение интегрального уравнения
J ф(5)вХ1% = Tr 1'(*) (7-37)
—1
может быть построено в замкнутом виде. Действительно, вводя новые переменные и обозначения
. pU Ojm я2>ТХ __ pU О у.
л==—Sh2^—’ у = —ШТг—’ tOl) = Ф (I), g(у) = V (X)i (7.38)
приведем уравнение (7.37) к виду 1
J;j=7*l = Jt*(jO (I^K1)- (7-39)
—1
Решение интегрального уравнения (7.39) дается формулой (2.36) гл. 2. Возвращаясь в этой формуле к старым переменным и обозначениям согласно (7.38), получим
