Задачи механики сплошных сред со смешанными - Александров В.М.
Скачать (прямая ссылка):
го (x)^Y
-COS \х
зі IXI V 1 4
найдем из (2.7) при Ы оо
(X, 0, t) = J
— TV0 (х) »|/"-
я\х\
Sin X
W
я \ (2.8)
+ (2.9)
18 В, М, Александров, Е, В. Коваленко
274 ГЛ. 5, МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ДИНАМИЧЕСКИХ СМЕШАННЫХ ЗАДАЧ
т. е. получим убегающую на бесконечность волну с убывающей в согласии с (1.4) амплитудой. Однако явление резонанса для данного случая ни для каких частот |х не наблюдается. Система не переполняется энергией.
Указанный на рис. 5.4 контур интегрирования Г получился в результате применения для решения задачи принципа предельного поглощения, однако такой же контур Г отвечает и требованиям принципов Зоммерфельда и Мандельштама. К результатам (2.5), (2.6), как показано в [3], приводит также й применение принципа предельной амплитуды, если, конечно, частота O2 не совпадает с резонансной. На резонансной же частоте произведение w(x, у, ?)e’“' при t-*- оо ведет себя как 0{th) [3].
2. Изложим, далее, алгоритм решения интегрального уравнения (5.29) гл. 1, (2.6), предварительно записав его в безразмерном виде (7.1) гл. 1 с помощью обозначений и переменных (7.3),
(7.4) гл. 1. Напомним, что в случае O2 = О (статический вариант задачи об антиплоской деформации упругого слоя) символ ядра К(%) имеет чисто мнимые нули и полюсы, ядро дается формулой
(7.7) гл. 1, а решение интегрального уравнения при /(ж) —/ = = const можно найти по формулам (6.30) гл. 3. При о2 ?- О
функция К(%) (2.6) имеет нули zn = ± i§n = ± (\/~ п2п2— а'1
и полюсы ?,п=±іУп =±г|/Гя2(?г — 1I2)2- о\ (п= 1, 2, ...), причем, если 0 < O2 < я/2, то все они по-прежнему чисто мнимые. С увеличением о2, соблюдая упорядоченность, нули и полюсы начинают сходить на вещественную ось. Первыми при O2 = п/2 действительной оси достигают полюсы. Соединившись в начале координат в двукратный полюс, они при я/2 < о2 < л растекаются в разные стороны по вещественной оси. Затем эту же процедуру с увеличением частоты повторяют нули и т. д. Если вещественной оси достигнет 2т полюсов, то па ней также окажется 2т — 2 или 2т нулей.
Как отмечено в §§ 3, 6 гл. 3, символ ядра К(%) можно аппроксимировать на действительной оси и в ее окрестности выражением
= 4 = Iimtf(S). (2.10)
>0
Здесь при I < п т положим 8„ = ±izn, = ±г?„, где Zn и — вещественные нули и полюсы функции К(%) вида (2.6), а при т < п =? N величины 8Д и подберем из условий наилучшей аппроксимации символа К(%) вдоль действительной оси выражением (2.10).
Прежде чем приступить к решению интегрального уравнения
і
ФШі^і^-)й? = я/ (UKl) (2.11)
§ 2, ДИНАМИЧЕСКАЯ СМЕШАННАЯ ЗАДАЧА
275
с ядром (2.6), выясним вопрос о его разрешимости. Доказано
[3], что если вещественные строго положительные ПОЛЮСЫ и нули функции K(Q) чередуются по мере убывания модулей, а контур Г обходит их, как показано на рис. 5.4, то теорема 5.1 сохраняет свою силу.
Сделаем в (2.6), (2.10) замену переменного ? = Яос и введем обозначения бп = б„Я, уп = упК_ (штрихи далее опустим). Получим
-Hf
th AXa
N і s2
а + °n ^iOC(S-SC)
п
1 а' + т;
da.
(2.12)
Ниже изложим метод решения интегрального уравнения (2.11),
(2.12), аналогичный данному в § 2 гл. 4 для задач типа Ь). Именно, введем в рассмотрение дифференциальный оператор L = d2/dx2, который, будучи примененным к функции exp (~iax), переводит ее в — а2 ехр(—tax). Учитывая это обстоятельство, интегральное уравнение (2.11), (2.12) запишем в форме (сравните с (6.40) гл. 3)
і>,(-Ь)ф(ж) = 2яРа(-Ь)/ (Ы<1), (2.13)
I OO
г|? (х) = J ф (I) dl j" cos а (? — х) dat (2.14)
—1 —оо
где Pi (—t) и P2 (—L) — дифференциальные операторы по х порядка 2N.
Построив общее решение дифференциального уравнения
(2.13), (2.14) для ф(ж), придем к следующему интегральному уравнению относительно функции ф(ж):
і °° г л-
J Ф (I) dl Jth А^'а cos а (I — х) da = п / + 2 Cn ch
(2.15)
(Ы 'S 1),
которое эквивалентно парному интегральному уравнению типа
(6.3) гл. 3:
N T
/ +2 CnChSnJ (0<*<1),
J (2.16)
cos ах da = л
j ф (a)
О оо
j" Ф (a) cos ах da = О (х>\).
Jl=I
Здесь связь между ф(ж) и Ф(а) имеет вид (6.2) гл. 3. Замкнутое решение парного интегрального уравнения (2.16) получено
18*
276 гл. 5, МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ДИНАМИЧЕСКИХ СМЕШАННЫХ ЗАДАЧ
в § 6 гл. 3. Это решение будет содержать неизвестные постоянные Cn (ге=1, 2, ..., N), которые можно затем найти из условия удовлетворения исходного интегрального уравнения (2,11), (2.12).
Далее понадобятся некоторые формулы из теории сферических и присоединенных сферических функций [6, 81 (см. еще § 6 гл. 3).
а) Интегральные представления (сравните с (6.7) гл. 3):
РЧ (ch ,) = /1 f ch ' ^ + ¦«‘I d, (RellC*),
Я Г(/2 I1) J (ch <х — ch /) 2 ^ \ 2 /
eS(chct) =
sh^a
OO
Ji
t)
-<v+V2)«
(2.17)
dt
Г (1/2 и) J (ch /— ch а)’^2+11
а
(а>0), Re(v + (і + 1)> 0, Re(x<V2.
б) Рекуррентные соотношения:
I lPv+1 (Z) - Pv-1 (Z)] = (2v + I) Pv (z), (2,18)
P_Vs (z)Qhlt (z) - 0_Vt (z)PLVz (z) = - У*=Т, (2.19)