Задачи механики сплошных сред со смешанными - Александров В.М.
Скачать (прямая ссылка):
17*
260 ГЛ, 4. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ СМЕШАННЫХ ЗАДАЧ ДРУГИХ ТИПОВ
Систему интегральных уравнений (9.50) естественно при малых X решать методом последовательных приближений по схеме
Inm ¦фш, 1Ir гпт $2П (т->-°°) ,
При этом на каждом этапе необходимо находить решения интегральных уравнений Винера — Хопфа с одним и тем же ядром, но с различными правыми частями.
8. Для получения практически приемлемых решений интегральных уравнений (9.51) приходится, как это уже отмечалось в § 9 гл. 2, использовать метод приближенной факторизации Койтера. Продемонстрируем это на примере контактной задачи с полным разделом граничных условий для упругой полосы, жестко защемленной по основанию (см. п. I). В соответствии с (9.4) и (9-43) здесь имеем
С помощью выражений (8.5) теперь нетрудно установить, что L(u)u~l ~ |и|-1(1 + є sgn и) (|в| -> °°),
Л0 = 2е(1 —е), —(1 — є) (Зє — 1) (0<е<‘/3).
Найдем, далее, решение интегрального уравнения Винера —
OO
О
(9.51)
оо
О
OO
J 1Fmm (у) k(lj — s)dy = ngn (Xs — I) + j xP2n,m-l (У) —
О
2Д
OO OO
J xP2nm (у) k(s — y)dy = ngn (1 — Is) + J [
1IfIri, m—1 (у)
(т^ 1, 0^5<оо).
оо
(9.52)
L (и) = L11(U) + ^L12 (и).
L(u)u-'~ A1, +A1U (и-^0)
(9.53)
§ 9, КОНТАКТНЫЕ ЗАДАЧИ С ПОЛНЫМ РАЗДЕЛОМ
261
Хопфа
OO
j ty(y)к (у — s) dy = nP (s) (0<s<oo). (9.54)
о
Заметим, что это уравнение соответствует интегральным уравнениям (9.51) для функций Wtnm(S). С учетом теоремы 2.11 ограничимся рассмотрением случая jo(s)=l. Аппроксимируем функцию L(u)u-‘ в (9.52) выражением [33]
Постоянные h,t h2, h3 и P в (9.55) подберем так, чтобы поведе-
нием в нуле и на бесконечности функции L (и) и ’, определяемым формулами (9.53). После несложных выкладок найдем
Здесь б дается формулой (9.15), знак «+» берется при Ai > О и знак «—» — при Ai < 0. Решая интегральное уравнение (9.54) с ядром вида (9.52), (9.55) по схеме, приведенной в § 9 гл. 2, получим
где у (а, х) — неполная гамма-функция [7]. Подставляя в (9.56) s = (1 + х)%~\ убедимся, что получающаяся у функции ¦ф[(1 + ж)Х“‘] особенность в окрестности точки х = —1 соответствует таковой в структурах (9.30) и (9.37) только при Ai > О и ^ = б. Однако из (9.53) видно, что ^4± > 0, если V3 < є < V2. Это ограничение возникло только из-за простоты принятой для функции (9.52) аппроксимации (9.55). Более точная, чем (9.55), и не обладающая указанным дефектом аппроксимация может быть построена умножением L^ (и) и-1 на Pi(U2)ZP2 (и2), где Pi(Uz) и P2(и2)—полиномы одинаковой степени (см. § 3 гл. 3).
Если вместо (9-54) рассмотреть интегральное уравнение Випера — Хопфа
J/^и3 + A2 ехр [— 2г"Р arctg (h^u 1^]
(9.55)
ние аппроксимирующей функции Ь* (и) и 1 совпало с поведе-
H1 = 1 + е, h2 = грЛо^Г1, hi = 2МГ1 /1-е2, P = ± б.
(9.56)
OO
(9.57)
О
262 ГЛ. 4, МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ СМЕШАННЫХ ЗАДАЧ ДРУГИХ ТИПОВ
соответствующее интегральным уравнениям (9.51)' для функций .Ч'гшЛз). то важно отметить, что в (9.52) функция L (и) уже будет иметь вид
L (и) = Lu(u) — eLi2 (и),
L(u)u~l ~ Ы~‘(1 — Є sgn и) (IbI-^oo)', (9.58)'
L(u)u~l ~ Aa-AiU, (ц->-0).
Приближенное решение уравнения (9.52)’, (9.57)', (9.58)' с помощью аппроксимации (9.55) можно снова представить в виде
(9.56). Нужно только заменить A1 на -Ai и положить [} = —6. Получающаяся в результате этого функция tf>[(I-^)X-1] будет вновь обладать в окрестности точки х = 1 нужной особенностью при условии V3 < є < V2-
ГЛАВА 5
МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ
ДИНАМИЧЕСКИХ СМЕШАННЫХ ЗАДАЧ
§ 1. Антиплоская задача о колебаниях штампа
на упругом полупространстве
Заметим, что, в отличие от разрешающих уравнений статических задач, размерность уравнений динамических задач больше на единицу (см. § 2 гл. 1). Это обстоятельство накладывает определенную специфику на методы их решения; возникает проблема понижения размерности.
Условимся при исследовании динамических задач механики сплошных сред различать следующие основные режимы: 1) режим установившихся гармонических колебаний; 2) режим установившихся движений; 3) общий нестационарный режим. Далее, на конкретных примерах будет показано, как подойти к проблеме понижения размерности разрешающих уравнений динамических задач для каждого из перечисленных случаев.
В данном параграфе и в следующих двух будут рассмотрены смешанные задачи теории упругости, относящиеся к первому режиму, и будут изложены методы их решения. Возникающие в этих задачах символы ядер интегральных уравнений относятся к случаю d) по классификации, данной в конце § 7 гл. 1.
Пусть изотропное упругое полупространство находится в условиях чистого сдвига под действием бесконечной недеформи-руемой полосы ширины 2а, нагруженной вдоль своей образующей сдвигающей силой Те~ш, отнесенной к единице длины. Между поверхностями полосы и полупространства предполагается осуществленным полное сцепление. Постановку задачи свяжем с ортогональной системой координат Oxyz. Плоскость у = О совпадает с поверхностью контакта полосы и полупространства, которое занимает область у < 0. Ось z направлена вдоль образующей полосы.
