Задачи механики сплошных сред со смешанными - Александров В.М.
Скачать (прямая ссылка):
JflO [,(Ii*)+-
OO \
¦Й - f ">¦ ® ['(i^i)+?Н
(6.52)
KJ' 4
(— оо < ж ^ 1).
Кроме того, заметим, что
г(0 + т = г At) = Yi^L (Qeiv db
(6.53)
где прямая Г, как уже отмечалось в п. 4, лежит ниже вещественной оси, а функция L(u) дается формулой (6.21). Очевидно также, что решение продифференцированного уравнения (6.19) есть
ф(ж) = ф1(ж)+ф2(ж). (6.54)’
Введем обозначения
- (\-\-x
Фі
(,X) = Фі
, ф2(ж) = ф/1
(6.55)
тогда после очевидных замен переменных систему интегральных уравнений (6.52) можно переписать следующим образом:
JO OU
[фі(*)[г(т— О + т]йт= — J (т) г(* + т-т) — T
) 2/А,
rU +т — х) T
dx,
(6.56)
dx
J Фг (т) [г (т — t) — -J dx = — J Фі (т)
О 2/А
(О < t < оо).
Допустим, что решение системы уравнений (6.56)' (т. е. функции Фі (t) и ф2(0) ведет себя следующим образом при t-*-
ф1 (f) — ф2 (?) — e-pt (6.57)
(далее, это допущение будет оправдано). С помощью (6.32) и (6.57) нетрудно оценить интегралы, стоящие в правых частях системы (6.56). Именно, можно показать, что эти интегралы по
232 ГЛ. 4. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ СМЕШАННЫХ ЗАДАЧ ДРУГИХ ТИПОВ
X имеют один и тот же порядок е_2Р/\ При t -*¦ 0 они ведут себя как In t, а при tинтеграл в первом уравнении (6.56) исчезает как е~во втором уравнении стремится к постоянной величине.
Для построения главного члена асимптотики при малых X пренебрежем интегралом в правой части первого уравнения (6.56)'. Будем иметь
OO
J Ф? (т)Гі (т — t) dx = О (0 < оо). (6.58)
о
Решая полученное интегральное уравнение методом Винера — Хопфа при аппроксимации (6.36), найдем
Ф? (О = Diо° (t), (6.59)
где D — произвольная постоянная, а со°(?) дается формулой (6.51) . Заменим теперь интеграл, стоящий в правой части второго уравнения (6.56), его значением при Принимая во внимание
вторую формулу (6.32), придадим указанному уравнению вид
OO OO
J Ф2 (т) г2 (т — О dx « — -j J Фі Ct) dx, (6.60)
О 2/1
где введено обозначение
г (0 - T =(0 = Jf 5L ®еШ d^ (6-61)
г
причем прямая Г здесь уже лежит выше вещественной оси. Подставляя в правую часть интегрального уравнения (6.60) вместо функции фі(т) ее приближенное выражение, определяемое формулой (6.59), и вычисляя интеграл, при малых X будем иметь
OO _______
J Ф2 W r2(x — t) dx = - j- Dbe 2hll% {o^Lt<oo, Ъ = л/~
О 2 /
(6.62)
Решая уравнение (6.62) методом Винера — Хопфа при аппроксимации (6.36) , найдем
Фl(t) = Dbe~2hl/%a0 (t), (6.63)
где (0°(?) снова дается формулой (6.51). Из формул (6.59), (6.63)’ вытекает справедливость допущения (6.57).
Итак, в силу (6.54), (6.59) и (6.63) главный член асимптотики решения интегрального уравнения (6.19) при малых %
§ 7. ДРУГИЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ТИПА С) МОЖНО представить в форме
, — 2/1,
Ф (х) = D
233
(6.64)
Используя теперь дополнительное условие (6.19), выразим постоянную D через TV0; получим
iV0 = ZA(l + be_*J*) [erf ( Vr^s) — be~Al*erf (Ь V^s)] (S= 2/Х).
(6.65)
Вычисления показывают, что формулы (6.35)', (6.51), (6.64) и (6.65) дают достаточно точные результаты при X =S V2.
§ 7. Другие методы решения смешанных задач типа с)
1. Рассмотрим интегральное уравнение (6.11) с общей правой частью f(x) є Я® (— I, 1) (‘/2<a=Sl, /(ж) — нечетная функ-
ция) и ядром типа (6.9), ще символ К (и) обладает свойствами
К(и) = Си~2 + 0( 1) (ц-0),
(7-І)'
К(и) = и-1 + 0(е~™) (цCO, и > 0).
Допустим также, что на комплексной плоскости % = u+iv функция ^2K (?) регулярна в полосе I v I =Sc. Тогда Ь(и) = иК(и) можно представить в виде
L (и) = cth (C-1U)-+ п3 (и),
пъ(и) = 0(и) (ц-0), (7.2)
п3(и) = 0(е~т) (и-*-°о, (х = inf (к, 2 C'1))',
причем функция Из (?) регулярна в полосе M=Sv (v=* = inf(c, яС —0)).
Заметим теперь, что имеет место соотношение [7]
OO
Г Cth(C-1M)
I------------ cos ut du = — In
J M
2sh^§M + d„ (7.3)
где d% — бесконечная постоянная, а интеграл понимается как предел при є —>¦ О выражения
OO
«MO = (*“Су'С у- cos ut du. (7.4)
J Ui + E
234 ГЛ. 4. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ СМЕШАННЫХ ЗАДАЧ ДРУГИХ ТИПОВ
В соответствии с (7.2) и (7.3) для ядра к (t) получим представление
оо
k(t) = — ln|2sh^-| +d* +m3(t), т3 (t) = j* ----- cos ut du, (7.5)
О
а на основании теорем 1.14, 1.15 убедимся, что m3(t) как функция комплексного переменного w = t + ix регулярна в полосе ItI < р, и, кроме того,
»i#(9 = 0(«-v|") (И -*¦ «о). (7.6)
Таким образом, первое слагаемое в выражении (7.5) для k(t) полностью отражает все основные свойства ядра.
Интегральное уравнение (6.11) с учетом (7.5) может быть теперь записано в форме
Lcp = я/ (х) — Мф (I х I ^ 1),
і
Ьф = - J ф (I) In I 2 sh 1 dl, (7.7)
“1
1
Мф = ]*ф(|)пг3(Цр)сг|.
-1
Здесь учтено, что ф(ж), как и f(x),— нечетная функция, и поэтому Na = 0. Заметим, что Ьф представляет собой главную (нерегулярную) часть интегрального оператора в уравнении (7.7), а Мф — малую при всех Я регулярную добавку.
2. Покажем, что решение интегрального уравнения (7.7) с отброшенным последним слагаемым, т. е. решение уравнения
