Лекции по теории переноса лучистой энергии - Адзерихо К.С.
Скачать (прямая ссылка):
Y = і 3(1 — X), (4.54)
нетрудно найти:
Л (т) = С0єу' + C1C-VT1 Ai (T)=Ilf (СіЄ-г< _ C0CVt).
О
Такйм образом,
I (т, |х) = -L {C0eVT + C1^-VT + VfX (C1^-VT _ C0eVT)}. (4.55)
4я
Применяя условие Маршака для P1-To приближения: і
j / (0, ц) \id\L — 0, о
находим связь между произвольными постоянными C0 и C1:
C1 =------C0.
3 4-27 °
Тогда решение (4.55) имеет вид
\ (4.56)
1 (т. И) = ^ 4я
(1 — ум.)evx — (і 4. Y(l) 3 ^ e-VT
З + 2у
105
По усломоо Марка = -p=r-j получаем:
/(t, ц) = г (і—Yh) (i+w) ^vt
4п L V 3 + 7
(4.57)
Входящая в выражения (4.56) и (4.57) постоянная C0 определяется из условия задания интенсивности излучения I0 на границе т = т0. Для краткости величину C0 можно представить так:
C0= 4л/0[ . . . ]т=іт,,д<о. (4.58)
Обратимся к решению проблемы Милна в первом приближении метода сферических гармоник. Как ранее указывалось, в случае X= 1 весовые функции нулевого и первого порядков имеют вид
A, =C1 + C2T, A1 = H = — ZiP =--------------.
Тогда решением проблемы Милна является
/ (т, |i) = -J- [C1 + 3лР (т - ц)]. (4.59)
4л
Постоянную C1 можно определить, используя граничные условия Маршака или Марка. В первом случае имеем:
о
Отсюда
і і j / (0, |а) нф = 0 или — C1 — лР = 0.
/(т, |i) = J P |т—ц+у) . (4.59а)
При использовании граничных условий Марка получаем:
Pi (и) = 4" (3H2 — 1) = 0, р = ± —V ’
2 V 3
' (0' тг)= °' (4'59б)
106
/(т, ji) = — P T — ji н
Функция источников для обоих случаев имеет вид Ъ 4
е(т)
Р\ т +
(при граничных условиях Маршака);
4
(при граничных условиях Марка).
Сопоставление решения проблемы Милна в первом приближении метода сферических гармоник с точным решением проведено в табл. 2. Как видно из таблицы, для задачи Милна метод сферических гармоник приводит к достаточно хорошим результатам.
§\* Характеристики свечения светорассеивающих сред с равномерно распределенными источниками
Решение задачи о распространении излучения в средах с равномерно распределенными источниками имеет большое значение для исследования теплового свечения светорассеивающих объектов (пламени, облаков и т.д.), а также при расчетах параметров энергетических установок, так как роль теплоносителей в них обычно выполняет система «газ—твердые частицы». Будем полагать условие локального термодинамического равновесия, т. е. ео(т) =Xlvp, а граничные условия для общности:
/ (0, Ji) 1д>о = /0і. / (zo> Н) 1д<о = V (4-60)
Для использования метода Шварцшильда—Шустера введем полусферическую долю рассеяния излучения назад в следующем виде:
о і
PA (z) = у j* dn j* р (м., Ji') / (z, ji') dji' или -1/ „ (4.61)
PM*) = Y JdljJ V-') H'Vm''.
о -і
107
Где I1 (г) и I2 (г) — усредненные по полусферам интенсивности излучения, определяемые соотношениями (4.1).
Тогда решение уравнения переноса излучения в приближении Шварцшильда—Шустера имеет вид
Л (Т)/Л>р = 1 — Ae~kx — A2Re-w»-x\
(4.62)
Л W//Vp = 1 - A1Re-*-AtT+V'-'K
Здесь
a A1 = I — E1 — R (I — ?j) *-**•, аАг = I — E2-R(l — EJe-fr, о=1— R*e-M', (4.63)
* -ттЬ -(‘+-ат)г. *-*»<•-*>.
?г = -?*- (1=1, 2), Я = —----------, т = (х+а) г. (4.64)
Kp х + о
Следует отметить, что если температура частиц T4acr отличается от температуры газов Tra3l то под величиной Ivp в выражении (4.62) подразумевается величина
Ivp = [^raзІчр(Тгаз) "і ^частIvp(T4acr )]. (4.65)
V--V
Лгаз і лчаст
Полагая E1 = E2--0, находим известное соотношение для степени черноты светорассеивающего слоя [40]:
= 7і.(то) = AM = (і _ Я) ¦ 1 .. . (4.66)
7vp 7vp 1 + /?^. '
Из (4.62) нетрудно получить коэффициенты отражения и пропускания, которые, как и степень черноты (4.66), совпадают по внешнему виду с выражением (2.72) (§ 5, гл. 2). Из (4.66) видно, что R есть коэффициент диффузного отражения слоя бесконечно большой оптической толщины.
Влияние граничных поверхностей на степень черноты слоя нетрудно установить, полагая в (4.62) E1=E2==E0:
R + е~кх• 1 + Re-*т«
«о + /У» w - 7V (4-67)
С помощью выражений (4.62) — (4.64) можно изучать как характеристики выходящего излучения, так и их
108
Рис. 10. Влияние параметра р на отражательную способность полу-бесконечного слоя:
V-P = I1O; 2-0,7; г-0,5; 4-0,3. 5—0,1; 5—0,05; 7-0,01
распределение внутри исследуемой среды в зависимости от оптических параметров среды и условий эксперимента. Анализ показывает, что интенсивность выходящего излучения сильно зависит от вероятности выживания кванта к и оптической толщины то. С увеличением оптической толщины T0 (то>1) возрастает роль параметра P — доли рассеянного назад излучения. Его влияние на отражательную способность полубесконечного слоя показано на рис. 10. Нетрудно показать, что параметр р связан со степенью вытянутости часто используемой на практике индикатрисы рассеяния р(ц, ц')=а + 2(1—я) X X6(и—ц') соотношением
P = 0,5а. (4.68)
Характер распределения излучения вдоль слоя в значительной мере определяется величинами то и к. Увеличение оптической толщины и вероятности выживания кванта приводит к появлению максимума излучения внутри слоя. Для сильно рассеивающих сред величина максимума одностороннего потока может значительно превышать величину выходящего из слоя излучения. Положение максимума одностороннего потока излуче-
