Теория вероятностей и ее инженерные приложения - Вентцель Е.С.
ISBN 5-06-003830-0
Скачать (прямая ссылка):
Примеры систем случайных величин.
1. Точка приземления космического летательного аппарата может быть охарактеризована системой двух случайных величин: X —- географическая широта и У —географическая долгота точки; совокупность двух случайных величин (X1 Y) является системой случайных величин.
2. Успеваемость студента, окончившего курс обучения в вузе, характеризуется системой п случайных величин X1, X2, ..., Xn- оценками, проставленными в его дипломе по пятибалльной системе.
3. Состояние вычислительной машины в момент времени t характеризуется системой многих случайных величин, среди которых: время наработки после последнего отказа ЭВМ; количество ячеек оперативной памяти, занятых обработкой информации; положение магнитных
178
ГЛ. 7. СИСТЕМЫ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН
лент и накопителей; число отказавших элементов ЭВМ; общее число отказов ЭВМ с момента ввода ее в эксплуатацию и т. д. Конкретный набор случайных величин, вводимых в рассмотрение, зависит от того, какая задача решается и с какой целью.
Аналогично этому, состояние любого технического устройства в заданный момент t характеризуется системой (набором) нескольких случайных величин.
Условимся систему нескольких случайных величин X, Y1 W обозначать (X1 Y1 W). Система случайных величин (как и каждая из ее составляющих) есть функция элементарного события
(X, Y.....W) = Cp(O));
каждому элементарному событию о) ставится в соответствие несколько действительных чисел: значения, принятые случайными величинами X1 Y1 ..., W в результате опыта.
Пример. Опыт состоит в том, что вынимается наугад одна кость из полного набора костей домино; с. в. X—сумма чисел очков, стоящих на половинах кости; случайная величина Y — их произведение. Пространство элементарных событий состоит из 28 элементов, соответственно 28 костям домино: Q = {0/0; 0/1; 0/2; ...; 1/1; 1/2; ...
...; 1/6; ...; 5/5; 5/6; 6/6).
Если в результате опыта появилось какое-то из этих элементарных событий, то случайные величины X1 Y получают вполне определенные значения; например, если вынута кость 3/4, то X — 7; Y =12. Совокупность этих значений — функция элементарного события cd. >
Случайные величины (X1 Y1 W)1 входящие в систему, могут быть как дискретными, так и недискретными (непрерывными или смешанными; в вышерассмот-ренном примере обе с. в. X и Y дискретны).
Для наглядности рассмотрения и исследования системы случайных величин удобно пользоваться геометрической интерпретацией. Так, систему двух случайных величин (X1 Y) можно изобразить случайной точкой на плоскости с координатами XnY (рис. 7.1.1), или, что равносильно, случайным вектором, направленным из начала координат в точку (X1 Y) (рис. 7.1.2); случайные величины X, Y представляют собой составляющие
7.2. ФУНКЦИЯ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ СИСТЕМЫ
179
этого вектора (рис. 7.1.2). Аналогично, систему трех случайных величин (X, Y1 Z) можно изобразить как случайную точку в трехмерном пространстве с координатами X, Y1 Z или, что равносильно, как случайный вектор, направленный из начала координат в эту точку, с составляющими X, Y1 Z.
----f(X,Y)
X
Рис. 7.1.1
X X
Рис. 7.1.2
При числе измерений больше трех геометрическая интерпретация теряет наглядность, но пользование геометрической терминологией остается удобным. Так, мы будем говорить о системе случайных величин (X1, X2, ...
Xn), как о случайпой точке в пространстве п измерений или о случайном векторе в том же пространстве и пользоваться для него обозначением
X = (Xi, X2, .»., Xn).
Очевидно, свойства системы случайных величин не исчерпываются свойствами отдельных величин, входящих в систему; существенны также связи (зависимости) между величинами. Полной характеристикой системы случайных величин является ее закон распределе-н и я, который, как и для отдельных случайных величин, может иметь разные формы (функция распределения; плотность распределения; таблица вероятностей отдельных значений случайного вектора и т. д.). Кроме законов распределения, мы будем рассматривать также и числовые характеристики системы случайных величин.
7.2, Функция распределения системы двух случайных величин
Функцией распределения (или «совместной» функцией распределения) системы двух случайных величин (X, Y) называется вероятность совместного выполнения двух неравенств: X < х; Y < у:
F (X1 у) = P [X < х; Y < у). (7,2,1)
180
ГЛ. 7. СИСТЕМЫ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН
Рис. 7.2.1
Стоящее в фигурных скобках событие означает произведение событий {Х<х) и {Y<y):
{Х<х\ Y<y} = {X<x){Y<y}*).
Пользуясь геометрической интерпретацией системы (X1 Y) как случайной точки па плоскости, можно
дать геометрическое истолкование функции распределения F(X1 у): это есть не что иное, как вероятность попадания случайной точки (X1 Y) в бескопечный квадрант с вершиной в точке (X1 у), лежащий левее и ниже ее (заштрихован на рис. 7.2.1). Правая и верхняя границы квадранта в него не включаются. Пользуясь геометрической интерпретацией, выведем основные свойства функции распределения системы двух случайных величин.
