Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Вентцель Е.С. -> "Теория вероятностей и ее инженерные приложения" -> 59

Теория вероятностей и ее инженерные приложения - Вентцель Е.С.

Вентцель Е.С., Овчаров Л.А. Теория вероятностей и ее инженерные приложения: Учебное пособие — М.: Высшая школа, 2000. — 480 c.
ISBN 5-06-003830-0
Скачать (прямая ссылка): teriya-veroyatnosti-2000.djvu
Предыдущая << 1 .. 53 54 55 56 57 58 < 59 > 60 61 62 63 64 65 .. 137 >> Следующая

непрерывных случайных величин:

/(я, y)dxdy.

{1AA)

У

UR

С точностью до бесконечно малых величин высших порядков элемент вероятности /(#, y)dxdy равен вероятности попадания случайной точки (X, Y) в элементарный прямоугольник dRxy с размерами dx и dy, примыкающий к точке (х, у) (рис. 7.4.3). Эта вероятность

приближенно равна объему эле-ху ментарного параллелепипеда с высотой J(X1 у), опирающегося на dRxy (рис. 7.4.4).

Аналогично тому, как вероятность попадания одной с. в. X в Рис. 7.4.3 пределы участка (а, ?) геометри-

чески изображалась площадью, ограниченной сверху кривой распределения, опирающейся на этот участок, вероятность попадания случайной точки (X, Y) в область D на плоскость хОу геометрически изображается объемом тела, ограниченного сверху

f(X,y')\

О

dx

Рис. 7.4.5

поверхностью распределения J(X1 у) и опирающегося на область D (рис. 7.4.5). Эта вероятность определяется по формуле

P {(X, Y)*=D} = \\f (X1 у) dx dy. (7.4.5)

Если область D представляет собой прямоугольник R со сторонами, параллельными координатным осям, ограниченный абсциссами а, ? и ординатами у, б (рис. 7.4.6),

7.4. СИСТЕМА ДВУХ НЕПРЕРЫВНЫХ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН 193

то вероятность попадания в нее случайной точки (X7 Y): P {(X, Y) R) - j J / (я, у) dy. (7.4.6)

а V

Выражение функции распределения системы (X, Y) через совместную плотность /(*. У)-

Функция распределения F(x, у) системы двух случайных величин (X, Y) равна вероятности попадания случайной точки в бесконечный квадрант с вершиной в точке (х, у), лежащей левее и ниже этой точки (рис. 7.2.1). Рассматривая этот квадрант как прямоугольник, ограниченный абсциссами —«>, X и ординатами —оо, у, по формуле (7.4.6) получим:

F(^y) =- j ] j(x,y)dxdy.

— OO —сю

(7.4.7)

Полагая в формуле (7.4.7) х — у +°°, получим:

OO

\\f{x,y)dxdy = F{ + оо, + оо)= 1 (7.4.8)

и второе свойство плотности доказано.

Выражение законов распределения отдельных случайных величин, входящих в систему, через закон распределения систем ы.

Зная закон распределения системы случайных величин (случайного вектора) (X, У), можно найти закон распределения каждой из величин, входящей в систему, в любой удобной для нас форме: функция распределения, плотность (для непрерывных св.), ряд распределения (для дискретных св.).

Рассмотрим сначала случай системы двух непрерывных случайных величин, более часто встречающийся в инженерной практике.

В п. 7.2 мы показали, что F(x, +оо) = F1(X); F(+0O1 y) = F2(y)t т. е. для того, чтобы полу-

7 Теория вероятностей и ее инженерные приложения

194

ГЛ. 7 СИСТЕМЫ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН

ч и т ь функцию распределения одной из величин, входящих в систему, достаточно положить в функции распределения системы аргумент, соответствующий второй случайной величине, равным +<».

Учитывая формулу (7.4.7), выражающую функцию распределения F(x, у) системы двух непрерывных случайных величии через их совместную плотность, и заменяя в ней аргументы х, а затем у на +«>, получим:

X оо оо у

F1(X)= f f f(x,y)dxdy; FM= j J f(*,y)dxdy.

— ЭО —00 — ОС — X)

(7.4.0)

Чтобы найти плотности f,(x) и /2([/), продифференцируем выражение (7.4.9) соответственно по х и по у:

Применяя известное правило дифференцирования интеграла по переменной, входящей в его продел, получим:

00 оо

1 П*,У)*У\ Ш- \ f{x,y)dx; (7.4.10)

— OO «ьОО

т. е. для того чтобы получить плотность распределения одной из величии, входящих в систему, надо проинтегрировать совместную плотпость в бес к опечи ы X пределах по аргументу, соответствующему другой случайной величине.

7.5. Зависимые и независимые случайные величины. Условные законы распределения

В предыдущих пунктах мы показали, как, зпая закоп распределения системы двух (дискретных или непрерывных) случайных величин, найти законы распределения отдельных величин, входящих в систему (X, Y).

Возникает естественный вопрос: а нельзя ли, зпая законы распределения отдельных с. в. X и У, входящих в систему, найти закоп распределения системы?

7.5. ЗАВИСИМЫЕ И НЕЗАВИСИМЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ 195

*) Формулу (7.5.1) иногда называют теоремой умпожепчя законов распределеиия.

7*

Нет, оказывается, в общем виде этого сделать нельзя: знание законов распределения отдельных с. в. X и У еще не дает возможности найти закон распределения системы. Это можно сделать только в одном частном случае: когда св. X и У, образующие систему, независ и M ы.

Две с в. X и У называются независимыми, если независимы все связанные с ними события: например, {Х<х) и {Y<y}\ {X = Xi) и {Y = y3) и т. д. Так как зависимость и независимость событий всегда взаимны (если А не зависит от B1 то и В ке зависит от A)1 то зависимость и независимость случайных величин также всегда взаимны: если св. X не зависит от св. Y1 то и с. в. У не зависит от с. в. X.

В терминах законов распределения независимость с. в. можно определить так: две случайные величины называются независимыми, если закон распределения каждой из них не зависит от того, какое значение приняла другая.
Предыдущая << 1 .. 53 54 55 56 57 58 < 59 > 60 61 62 63 64 65 .. 137 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed