Теория вероятностей и ее инженерные приложения - Вентцель Е.С.
ISBN 5-06-003830-0
Скачать (прямая ссылка):


непрерывных случайных величин:
/(я, y)dxdy.
{1AA)
У
UR
С точностью до бесконечно малых величин высших порядков элемент вероятности /(#, y)dxdy равен вероятности попадания случайной точки (X, Y) в элементарный прямоугольник dRxy с размерами dx и dy, примыкающий к точке (х, у) (рис. 7.4.3). Эта вероятность
приближенно равна объему эле-ху ментарного параллелепипеда с высотой J(X1 у), опирающегося на dRxy (рис. 7.4.4).
Аналогично тому, как вероятность попадания одной с. в. X в Рис. 7.4.3 пределы участка (а, ?) геометри-
чески изображалась площадью, ограниченной сверху кривой распределения, опирающейся на этот участок, вероятность попадания случайной точки (X, Y) в область D на плоскость хОу геометрически изображается объемом тела, ограниченного сверху
f(X,y')\
О
dx
Рис. 7.4.5
поверхностью распределения J(X1 у) и опирающегося на область D (рис. 7.4.5). Эта вероятность определяется по формуле
P {(X, Y)*=D} = \\f (X1 у) dx dy. (7.4.5)
Если область D представляет собой прямоугольник R со сторонами, параллельными координатным осям, ограниченный абсциссами а, ? и ординатами у, б (рис. 7.4.6),
7.4. СИСТЕМА ДВУХ НЕПРЕРЫВНЫХ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН 193
то вероятность попадания в нее случайной точки (X7 Y): P {(X, Y) R) - j J / (я, у) dy. (7.4.6)
а V
Выражение функции распределения системы (X, Y) через совместную плотность /(*. У)-
Функция распределения F(x, у) системы двух случайных величин (X, Y) равна вероятности попадания случайной точки в бесконечный квадрант с вершиной в точке (х, у), лежащей левее и ниже этой точки (рис. 7.2.1). Рассматривая этот квадрант как прямоугольник, ограниченный абсциссами —«>, X и ординатами —оо, у, по формуле (7.4.6) получим:
F(^y) =- j ] j(x,y)dxdy.
— OO —сю
(7.4.7)
Полагая в формуле (7.4.7) х — у +°°, получим:
OO
\\f{x,y)dxdy = F{ + оо, + оо)= 1 (7.4.8)
и второе свойство плотности доказано.
Выражение законов распределения отдельных случайных величин, входящих в систему, через закон распределения систем ы.
Зная закон распределения системы случайных величин (случайного вектора) (X, У), можно найти закон распределения каждой из величин, входящей в систему, в любой удобной для нас форме: функция распределения, плотность (для непрерывных св.), ряд распределения (для дискретных св.).
Рассмотрим сначала случай системы двух непрерывных случайных величин, более часто встречающийся в инженерной практике.
В п. 7.2 мы показали, что F(x, +оо) = F1(X); F(+0O1 y) = F2(y)t т. е. для того, чтобы полу-
7 Теория вероятностей и ее инженерные приложения
194
ГЛ. 7 СИСТЕМЫ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН
ч и т ь функцию распределения одной из величин, входящих в систему, достаточно положить в функции распределения системы аргумент, соответствующий второй случайной величине, равным +<».
Учитывая формулу (7.4.7), выражающую функцию распределения F(x, у) системы двух непрерывных случайных величии через их совместную плотность, и заменяя в ней аргументы х, а затем у на +«>, получим:
X оо оо у
F1(X)= f f f(x,y)dxdy; FM= j J f(*,y)dxdy.
— ЭО —00 — ОС — X)
(7.4.0)
Чтобы найти плотности f,(x) и /2([/), продифференцируем выражение (7.4.9) соответственно по х и по у:
Применяя известное правило дифференцирования интеграла по переменной, входящей в его продел, получим:
00 оо
1 П*,У)*У\ Ш- \ f{x,y)dx; (7.4.10)
— OO «ьОО
т. е. для того чтобы получить плотность распределения одной из величии, входящих в систему, надо проинтегрировать совместную плотпость в бес к опечи ы X пределах по аргументу, соответствующему другой случайной величине.
7.5. Зависимые и независимые случайные величины. Условные законы распределения
В предыдущих пунктах мы показали, как, зпая закоп распределения системы двух (дискретных или непрерывных) случайных величин, найти законы распределения отдельных величин, входящих в систему (X, Y).
Возникает естественный вопрос: а нельзя ли, зпая законы распределения отдельных с. в. X и У, входящих в систему, найти закоп распределения системы?
7.5. ЗАВИСИМЫЕ И НЕЗАВИСИМЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ 195
*) Формулу (7.5.1) иногда называют теоремой умпожепчя законов распределеиия.
7*
Нет, оказывается, в общем виде этого сделать нельзя: знание законов распределения отдельных с. в. X и У еще не дает возможности найти закон распределения системы. Это можно сделать только в одном частном случае: когда св. X и У, образующие систему, независ и M ы.
Две с в. X и У называются независимыми, если независимы все связанные с ними события: например, {Х<х) и {Y<y}\ {X = Xi) и {Y = y3) и т. д. Так как зависимость и независимость событий всегда взаимны (если А не зависит от B1 то и В ке зависит от A)1 то зависимость и независимость случайных величин также всегда взаимны: если св. X не зависит от св. Y1 то и с. в. У не зависит от с. в. X.
В терминах законов распределения независимость с. в. можно определить так: две случайные величины называются независимыми, если закон распределения каждой из них не зависит от того, какое значение приняла другая.



