Теория вероятностей и ее инженерные приложения - Вентцель Е.С.
ISBN 5-06-003830-0
Скачать (прямая ссылка):
откуда c = l/(?-a)(6-4);
7 5. ЗАВИСИМЫЕ И НЕЗАВИСИМЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ 199
таблицу значений функции распределения для различных значений аргументов (х, у):
\. V
v<y<6
X < а
0
0
0 ч
% < X < р
0
[(л-а)/(Р - а) і X
(.t _ <x)/(? - а)
X [((/-у)/(б - Y)I
X > ?
0
(// — Y)'(o — V)
1
Поверхность, изображающая функцию распределения F(.г, у), дана на рис. 7.5.2. >
Пример 2. Система с. в. (X, У) распределена с постоянной плотностью f(x, у) = с внутри квадрата R со стороной я, стороны которого составляют углы 45° с осями координат (рис. 7.5.3). Найти константу с. Найти шютности fx(x) и f2(y) отдельных величин X и К,
Рис. 7.5.2
Рис. 7.5.3
входящих в систему. Определить, зависимы или независимы св. (Ху У), входящие в систему.
Решение. Поверхность распределения вне квадрата R совпадает с плоскостью хОу, а внутри его — параллельна ей и проходит па высоте с. Из того, что объем тела, показаппого на рис. 7.5.4, равен единице, следует, что
с — 1, откуда с =» 1/а2 и
Кх1 У) = Iq
при (ж, у) є= RA при (X1 у) ф Fi]
(7.5.9)
200
ГЛ. 7. СИСТЕМЫ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН
Плотность распределения fi{x) найдем по формуле (7.4.10):
Z1 (X) = j / (х, у) dy =
— оо
О
а/ V 2 + X
J- Г dy = 2 (fl/уТ + z)/<z2 a" J
'2-
I
прп |я|>а/~|/2,
при — а/~\/2< х<0,
~(a/V2+x) а/V 2-х
dy = 2 (а/"1/- ~ ^)/д2 ПРП
0<х<а/у2".
(7.5.10)
-(а/Г2-:с)
Аналогично
OO
U (г/) = 1 / у) dx =
— 00
0_ при |y|>fl//2f
-¦2(а//2 + »)/а> при -а//2<у<0, (7.5.11)
.2 (а/ /2 - у)/а2 при О < г/ < а/ /2.
Кривая распределения ft(x) имеет вид, показанный на рис. 7.5.5 (совершенно такой же вид имеет и кривая
распределения fz{y))> Такой закон распределения называется законом Симпсона (пли «законом равнобедренного треугольника»). Так как /(.г, у)Ф /, (х))2(у), то случайные величины X, Y з а в и-с и м ы. >
f(x,y)
Рис. 7.5.5
Если случайные величины, образующие систему, зависимы, то для нахождения закона распределения системы недостаточно знать законы распределения отдельных величин, входящих в систему: требуется еще знать так
7 5. ЗАВИСИМЫЕ И НЕЗАВИСИМЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ 201
называемый условный закон распределения
ОДНОЙ ИЗ ii И X.
Условным законом распределения одной из величин (X, Y), входящих в систему, называется ее закон распределения, вычисленный при условии, что другая случайная величина приняла определенное значение (или попала в какой-то интервал).
В случае произвольного типа случайных величин (дискретных, непрерывных или смешанных) функция распределения F(X1 у) системы зависимых случайных величин (X, Y) может быть записана в виде:
Р(х,у) = Р{Х<х, Y<y} = P{X<x}.P{Y<y\X<x} =
= FX (x)-P{Y<y\X<x}t
Условная вероятность P {Y < у \ X < х) — вероятность события {Y<y} при условии, что величина X приняла значение меньшее, чем х, может быть названа условной функцией распределения св. Y при условии {X < х); обозначим ее
P'{Y<y\X<x} = F2(y\X<x).
Тогда
F(X1 y) = Fi(x)F2(y\X<x). (7.5.12)
Аналогично, беря в качестве «первой» случайную величину Y1 получим:
F(X1 y) = F2(y)Fl(x\Y<y). (7.5.13)
На практике чаще всего применяют другой вид условного закона: закон распределения одной из случайных величин при условии, что другая приняла вполне определенное значение. Вычислим такие условные законы распределения для случая системы двух дискретных случайных величин. Они образованы условными вероятностями, представляющими собой вероятность того, что с в. X примет значение Xx при условии, что Y = Уі (или, наоборот, вероятность того, что с. в. Y примет значение у j при условии, ЧТО X = Xi).
Найдем эти условные вероятности. Вспомним, как в п. 2.3 мы определяли условную вероятность события В при наличии А:
P (В [A) = Р(АВ)/Р (А).
202 ГЛ. 7. СИСТЕМЫ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИИ
Применяя эту формулу, найдем условную вероятность того, что случайная величина У примет значение у} при
УСЛОВИИ, ЧТО X = JCiI
PVj]X1 = PiJPx1 (і = 1, 2, .. ., щ j = 1, 2, ..., т)
(7.5.14)
и, аналогично,
P*i\vj = PijlPvj С = 1. 2.....и; /=1,2,..., го).
(7.5.15)
Совокупность вероятностей (7.5.14) для J = I1 2, ... ..., т представляет собой условный ряд распределения св. У при условии Х = Хі\ этот ряд распределения обладает свойством обычного ряда распределения: сумма образующих его вероятностей равна единице.
Действительно,
mm т
2 Pvfci = Z PvfP*i = 7Г"2 = P*ifP*\ =
j=l xi j=l
Аналогично и
п
2/>хф,;. = 1.
Пример 3. Найти условные ряды распределения Р*}\щ и pUi|rj (і = 1, 2, 3, 4, 5; 7 = 1, 2, 3, 4, 5) для зависимых дискретных случайных величин U1 V1 приведенных в примере 2 п. 7.3.
Решение. Применяя формулы (7.5.14) и (7.5.15), а также учитывая ряды распределения (7.3.10), получим для всех клеток табл. (7.3.9), где стоят нули, условные вероятности равными нулю; отличными от нуля оказываются только:
Pv^u1 = P1JPu1 = 0,0324/0,0324 = 1; /^2 -
