Теория вероятностей и ее инженерные приложения - Вентцель Е.С.
ISBN 5-06-003830-0
Скачать (прямая ссылка):
Pirn
Х2
P2I
P22
P2J
Р2т
Хі
Pi2
P im
*п
Pm
Pn2
Pnj
Рпт
Сумма всех вероятностей pih стоящих в матрице (7.3.2), равна единице как сумма вероятностей полной группы несовместных событий:
п т і=іу =1 3
184
гл. 7. системы случайных величии
Если известна матрица распределения (7.3.2) системы двух дискретных случайных величин (X1 Y)1 то ее функция распределения находится суммированием всех вероятностей PiJ1 для которых Хі<ху уі<у:
Fi*,у)- 2* 2 ріг
(См. выделенный «левый верхний угол» матрицы 7.3.2').
Множество возможных значений дискретных случайных величин X и Y может быть не только конечным, но и бесконечным (счетным).
У
X
\
Vi
Уг
щ
...
Vm
х1
Pu
P12
PlJ
P Im
*2
Р21
P22
•
P2J
Р2т
Xi
PiI
Pi2
Pi)
Pirn
хп
Pni
Pn2
Pnj
Рпт
В этом случае матрица распределения имеет бесконечные размеры, но ее свойства сохраняются теми же, что при конечных п її т.
Ниже мы для простоты будем считать п и т конечными; в случае, когда множество возможных значений одной из с в. (X1 Y) (или обеих) бесконечно (счетно), соответствующие пределы п и т в суммах нужно заменить на бесконечные.
Зная матрицу распределения системы двух дискретных случайных величин (X1 Y)1 легко можно найти законы (ряды) распределения отдельных случайных величин X и Y1 входящих в систему. Обозначим
P4 = P[X = *гУ, р -Р{Г-Уі).
7.3. СИСТЕМА ДВУХ ДИСКРЕТНЫХ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН 185
Найдем P {X = Хі}\ для этого события {X = xt) представим как сумму несовместных вариантов:
IX = Zi) = [X = Xt; Y = y{) +
+ {X = XS1 Y = yz) + ... + {X = xi; Y = yJ.
По правилу сложения вероятностей
m
р =P{X-Xi)- 2 Py (7.3.3)
1 J=I
и, аналогично,
РуГ P (Г = ?,.} = 2р{;., (7.3.4)
т.е. для того, чтобы найти вероятность того, что отдельная случайная величина, входящая в систему, примет определенное значение, надо просуммировать вероятности Pa, стоящие в соответствующей этому значению строке (столбце) матрицы распределения.
Пример 1. Два стрелка, независимо друг от друга, делают по два одиночных (независимых) выстрела каждый по своей мишени. Случайная величина X — число попаданий первого стрелка, У —число попаданий второго стрелка. Вероятность попадания при одном выстреле для первого стрелка pi = 0,7, для второго р2 = 0,4. Построить матрицу распределения \\р^\ системы случайных величин (X1 Y) и законы (ряды) распределения отдельных случайных величин X и У. Найти функцию распределения F(X1 у).
Решение. Возможные значения случайных величин X и У:
^r1=O; х2 = 1; х3 = 2; j/i = 0; j/2 = l; у з = 2.
Возможные пары значений системы случайных величин (X1 Y):
(0,0), (0,1), (0,2), (1,0), (1,1), (1,2);
(2, 0), (2, 1), (2, 2).
Соответствующие этим парам вероятности вычисляем, пользуясь правилами сложения и умножения вероятностей,
ГЛ. 7. СИСТЕМЫ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН
Имеем:
P11 = P (X = О, 7 = 0} = P {первый стрелок оба раза промахнулся и второй стрелок оба раза промахнулся}=
= (1 - /?,)г(1 — РгУ = 0,0324.
P12 = P(X = O; 7=1} P13-P(X = O1 7 = 2} P21 = P(X = I; 7 = 0} P22 = P(X = I1 7=1} P23 = P(X = I; 7 = 2} P31 = P(X = 2; 7 = 0} P32 = P(X = 2; 7=1} = P33 = P(X = 2; 7 = 2}.
.0,3'•2•0,4¦0,O- 0,0432;
¦ 0,0144; 0,1512;
. 0,2016;
¦ 0,0672; ¦0,1764;
0,2352;
0,0784.
Матрица распределения системы случайных величин (X, Y) имеет вид:
(X, Y):
хг X
0
1
2
0
0,0324
0,0432
0,0144
1
0,1512
0,2016
0,0672
2
0,1764
0,2352
0,0784
(7.3.5)
На основании матрицы (7.3.5) находим значения функции распределения F(x, у) (см. (7.3.6)).
*ч*. У):
n4v
ко
0<!/<»
1<1/<2
у>2
*<0
0
0
0
0
0< 1
0
0,0324
0,0756
0,0900
К X < 2
0
0,1836
0,4284
0,5100
*> 2
0
0,3600
0,8400
1,000
(7.3.6)
7.3. СИСТЕМА ДВУХ ДИСКРЕТНЫХ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН 187
Законы распределения отдельных случайных величин X и Y получим, суммируя вероятности, стоящие соответственно в строках (столбцах) матрицы (7.3.5):
р*3 =
Руз =
P (X = 0} = 0,0324 + 0,0432 + 0,0144 = 0Д09;
P {X = I} = 0,42;
P (X = 2} = 0,49;
P {Y = 0} = 0,36;
P{Y = 1} = 0,48;
P(F = 2} = 0,16.
(Эти значения мы могли бы получить непосредственно из условий задачи, не пользуясь матрицей (7.3.5).)
Ряды распределения случайных величин X и Y име< ют вид:
X :
0
1
2
0,09
0,42
0,49
Y х
0
1
2
0,36
0,48
0,16
(7.3.7)
Пример 2. Для условий примера 1 построить матрицу распределения двух других случайных величин:
U = X+Y; V = X-Y
(сумма и разность чисел попадания первого и второго стрелков). По этой матрице найти законы (ряды) распределения случайных величин U и V по отдельности.
Решение. Возможные значения случайной величины U:
