Теория вероятностей и ее инженерные приложения - Вентцель Е.С.
ISBN 5-06-003830-0
Скачать (прямая ссылка):
P1 +P2 + '••+Pn п
или, учитывая, что 2 Pi = ii i=i
Это есть среднее взвешенное значение с. в. X, в которое абсцисса каждой точки xt входит с «весом», равным соответствующей вероятности.
Полученное таким образом среднее значение случайной величины X называется ее математическим ожиданием. Это — одно из важнейших понятий теории вероятностей. Дадим ему словесную формулировку.
Математическим ожиданием дискретной случайной величины называется сумма произведений всех возможных ее значений на вероятности этих значений.
Теперь рассмотрим случай, когда число возможных значений дискретной с. в. X не конечно, а бесконечно (образует счетное множество). Формула для математического ожидания остается той же, только в верхнем пределе суммы п заменяется на бесконечность:
m[X]=f XiPi. (4.1.2)
i=l
2 *іРі
n
2 Pi
(4.1.1)
по
ГЛ. 4. ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ
Некоторая сложность заключается в том, что бесконечная сумма (4.1.2) может и расходиться, т. е. соответствующая с в. X — не иметь математического ожидания. Например, для X с рядом распределения
X :
2
22
23
2*
1/2
1/22
1/23
!/2і
. . •
числовой ряд, дающий математическое ожидание M [X] = U 272і = 2 U
і=1 і=1
расходится (сумма его равна <»), и, значит, у такой с. в. математического ожидания не существует. Такую возможность всегда надо иметь в виду, рассматривая случайные величины с бесконечным числом возможных значений. На практике, как правило, множество возможных значений с. в. распространяется лишь на ограниченный участок оси абсцисс и, значит, математическое ожидание существует.
Перейдем от дискретной с. в. X к непрерывной с плотностью f(x). Механическая интерпретация математического ожидания сохранит тот же смысл: центр массы для единичной массы, распределенной непрерывно на оси абсцисс с плотностью f(x). Заменяя в формуле (4.1.2) «скачущий» аргумент х{ непрерывно меняющимся х, а вероятность р» —элементом вероятности f(x)dx, получим,
oo
M[X] = j xf{x)dx. (4.1.3)
— 00
Разумеется, те значения х, для которых /(#) = 0, можно выбросить из области интегрирования. Так же, как и сумма (4.1.2), интеграл (4.1.3) может расходиться, и математическое ожидание — не существовать, но на практике обычно область значений с. в., для которых 1(х)Ф Ф О, ограничена и математическое ожидание существует.
Несколько сложнее определяется математическое ожидание смешанной случайной величины; оно состоит из двух слагаемых, суммы и интеграла:
M [X] - 2 XiPi + j xF (х) dx, (4.1.4)
* (H)
где сумма распространяется на все значения л\, имею-
4.1. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОЖИДАНИЕ
111
щие отличпые от нуля вероятности, а интеграл — на все участки оси абсцисс, где функция распределения F (х) непрерывна; множество участков непрерывности функции F(x) обозначим Н.
В дальнейшем для краткости вместо слов «математическое ожидание» будем иногда сокращенно писать м. о.
Пользуясь интегралом Стилтьеса, можно выразить
oo
м. о. любой св. X через ее ф. p.: M [XJ= J xdF(x).
— oo
Эта формула для математического ожидания случайной величины имеет скорее теоретическое значение; в конкретных случаях вычисления проводятся по формулам (4.1.2), (4.1.3), (4.1.4).
Математическое ожидание с в. связано тесной зависимостью со средним арифметическим ее наблюденных значений при большом числе опытов. Действительно, пусть имеется дискретная с. в. X с рядом распределения и к значениями:
X :
*1
Х2
...
Xi
...
Хк
Pi
...
Ph
где pi = P (X = х\}> Пусть производится п независимых опытов, в каждом из которых с. в. X принимает определенное значение из множества {хи х2, ..хк). Предположим, что значение Xx появилось щ раз, значение х2 —
к
п2 раз и т. д.; 2 п% — п* Среднее арифметическое иа-блюденных значений с в. X обозначим М* [X]. Имеем
к
М* [X] a- (XJi1 + Or2W2 + ... + хкпк)1п — 2 ХіЩ/п.
і=1
Но njn есть не что иное, как частота (или статистическая вероятность) события {Х~х{)\ обозначим ее р.: итак,
М*[Х]=5 Xipl (4.1.5)
т. е. среднее арифметическое наблюденных значений с в. равно сумме произведений ее возможных значений на соответствующие им частоты.
112
ГЛ. 4. ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ
Мы знаем, что при увеличении числа опытов п частота события Pi будет приближаться (сходиться по вероятности) к вероятности Pi этого события. Значит, и среднее арифметическое М* [X] будет приближаться (сходиться по вероятности) к математическому ожиданию M [X] случайной величины X. Это значит, что при достаточно большом числе опытов можно среднее арифметическое наблюденных значений с. в. X принимать приближенно равным ее м. о.
Указанная выше связь между м. о. и средним арифметическим составляет содержание одной из предельных теорем теории вероятностей (так называемого закона, больших чисел; строгое доказательство этой теоремы, а также оценка ошибки приближенного равенства М* [X] « a? M [X] будут даны далее, в гл. 10 и И).
Выше мы ввели обозначение M [X] для математического ожидания с. в. X. Иногда бывает удобнее обозначить его одной буквой тх, где индекс х у буквы т напоминает о той случайной величине X, м. о. которой рассматривается. Иногда, когда яспо, о какой случайной величине идет речь, мы будем этот индекс опускать и обозначать математическое ожидание просто т.
