Сборник задач по специальному курсу элементарной математики - Моденов П.С.
Скачать (прямая ссылка):
4 ZZ+1 ZZ -j- Z
tg2* X . r u \ 2 c°s (272At) + 1 ,1
39. -P-(at ф kn). 40. —J5-*-у-+-, ЄСЛИ COS at =7^=---рг-.
tgx v ' 2 cos at + 1 2
1 COS (2 — cos b _
41. -^Tf----, если выражение, стоящее в знаменателе, не равно нулю. *
cos -трг ~ cos
,Отпеты. Тригонометрия. Гл. XXVIII. ОБРАТНЫЕ ТРИГОНОМЕТР. ФУНКЦИИ 709
sin —
44в -45в 46. nkn~l. 47. -^— ctg При неограниченном увеличении п
п sin у
Q „о о / і 14 , 71 (n+\)sinnX— П Sin (Л + 1)ЛГ
длина линии стремится к 8я. 48. 2ап (п +1) sin —. 49, 1---1-—,
X X TLX
если sin j фО. 50. ctg a — 2ncig (2па). 51. 2п cosn cos -^-. 52. tg а tg (а + лл).
53 sin (/г + 1) л: собл X sin л"
Г/2o0? XXVfIL Обратные тригонометрические функции
4. Следует прежде всего обратить внимание на структуру этих соотношений: если берется сумма двух обратных тригонометрических функций, то она выражается через ту обратную тригонометрическую функцию, значения которой заключены в промежутке от 0 до тс, а если берется разность двух обратных тригонометрических функций, то она выражается через ту обратную тригонометрическую функ-
TC TC ^
цию, значения которой заключены в промежутке от —-^- до -^. Это простое
соображение позволяет дать единообразный вывод всех формул этой группы. Например, пусть а) 0 < * < 1, 0<у<1. Положим are sin х = a, arc sin у = ?; тогда
X = sin et, у = sin ?, 0 < а < , 0 < ? < ; значит, 0 < а -(- ? < тс; далее, cos а =
== У1 — X2, cos ? = Vl-у2, cos (а + ?) = cos a cos ?—sin a sin ? = Уі—л:2 /l— у2—л*у,
и так как 0 < а + ? < тс, то а + ? = arc sin л*-fare sin у = arc cos (]Л— x2 У1—у2—л*у). Или еще: б) Пусть arc sin х = а, arc sin у = ?, тогда при 0<лг<1, 0<у<1 будем
TC TC TC TC
иметь X = sin а, у = sin ?, 0 < а < у , 0 < 3 < — , — — < а — ? < •^-, sin (а — ?) =
= sin а cos ? — sin ? cos а = x Yl —У2 — У У1 — x2, и так как — \ <а — ^ <\* то а — ? = arc sin х — arc sin у = arc sin (x YГ—y^— у YГ—^2X Или еще: д) Пусть arc tgx = а, arc tgy = ?; х > 0, у > 0, тогда x = tga, у = tg?, 0 < а < ~, 0 < ? < ;
значит, 0<a + ?<Tc; далее, ctg(a + ?)= l"""*8**^ = ^~~Ху , и так как
tg а і- tg ? X + у
О < а -f- ? < тс, то а -f- ? == arc tg X + arc tg у == arc ctg x у • Аналогично доказываются и все остальные формулы этой группы.
TC
6. а) Положим arc sin х = а, считая 0 < х < 1. Тогда x==sin а, причем 0 < а < -g-. Теперь имеем: 2 sin ~ cos -^- = дг, sin2 -^- + cos2 = 1; отсюда (складывая и вычи-
как а
тая) находим: ^ cos — + sin -^- ^ = 1+лг, ^ cos ~ —- sin =1— х. Так 0<а<~, то0<~<-^-; значит, cos-^-> sin — , поэтому cos ¦^-+ sin — =
,/"Г~і— а , а -./"ї- а Уі+лг+Уі—X
= у 1 + л\ cos -j — sin у = У 1 — х, откуда cos == --¦-g-1-; следова-
а YT+~*~ +YT^x і . угт^+Уь17*
тельно, у = arc cos--¦--^--, или у arc sin x = arc cos --!--.
б) Положим arc cos x = а, считая 0 < x < 1; тогда cos a = x, причем 0 < a < ~.
~ a -. /" 1 + COS a /" 1 _L je л a тс
Следовательно, cos у ~ у —- — у —g— » и так как ^ < < , то
,/" 1 ,АГ+Т"
|/ —g— , или -^- arc cos л: = arc cos у —^—
у = arc cos
710 Ответы. Тригонометрия. Гл. XXVIIL ОБРАТНЫЕ ТРИГОНОМЕТР. ФУНКЦИИ
в) Положим arc tgx == а, считая х > 0; тогда tg а = X1 причем 0 < а < ~ . Так как tg а =-, то х —-, или лг tg2 -f 2 tg -^- — х = 0, откуда
а —1 ± Vl + Л'2 _ Л
tg -^- =-^-!-. Так как х > O1 то корни разных знаков, а так как
а тс л а
О < -g- < у, то tg у > 0, поэтому следует взять лишь положительный корень
, а /Г+Т2 —1 / а гЛ
этого уравнения tg-^-=-^-. Отсюда (в силу неравенств 0 < ^ < "g")
будем иметь Y arc -^-» или Y агс *2 х ^ arc &-X-
TC . TC
8. а) 0, б) , в) , г) у, д) у, е) — -g-, ж) — -, з) — у, и) —--. 9. a) у
ч ^ ч ^ чл ч 2тс 3TC Ч5ТС \ /ч *\ ч71
б) j , в) т, г) -g-, д) 0, е) -у , ж) -у-, з) -g- , и) тс. 10. а) 0, б) -g-, в) ^
чтс ч тс тс тс тс тс тс тс 2тс Зтс
г) -з , Д) — g-, е) — -j-, ж) — у. 11. а) у > б) у, в) -, г) -g, д) -у, е) -^-
ж) 8« , 12. а) Ї1, б) в) УЖ 4 2 2 , ж) _ 8/И
'б 3345/5 /5 20
4. 4 44 8 37
з) —~. 13. а) -J/2, б) --^-, в)2*»-1, г) *<4**-3), д) е) |^
14. а) ~, б) j, в) г) ~. 15. а) 5 —2тс, б) 4тс —10, в) Зтс —8, г) 4тс — 12.
, 2/2 АЧ 3/5 . 5 .4
16. а) тс — arcsin—-—, б) arc sin—--, в) arc sin — , г) —arcsin-—
З ' 7 ' 13' /17
. 5 ч .1 2/2 _ I4 1
д) тс — arcsin — , е) arc sin —— . 17. a) arc cos —--, б) arc cos • ¦ ¦._¦, в) arc cos -==
' 13 V5 3 /10 /26
r) — arc cos -4-- , Д) —arc cos — , e) arc cos (--^=A. 18. a) arctg —
9 /5 5 \ /10/ 4
6)'arctg(-^)f b)arctg^^, г) тс + arc tg j , д) arctgl
— у). 19. a)arcctg/99, 6) arc ctg (—2 / 2) — тс, в) arc ctg
1 2 2(/42--1)
