Сборник задач по специальному курсу элементарной математики - Моденов П.С.
Скачать (прямая ссылка):
2°. Докажем теперь, что если плоскость (R) вращается вокруг (D)1 то прямая (G) [в случае, если радикальная плоскость сфер (V) и (T) не проходит через (D)] описывает конус с вершиной а или цилиндр с образующими, параллельными прямой (D)1 основанием которого служит линия второго порядка, лежащая в плоскости (тс), а фокусом является точка Р. В самом деле, пусть t (черт. 296)— проекция T на плоскость (тс). Радикальная плоскость (V) и (T)1 перпендикулярная VT1 пересекает плоскость (тс) по прямой Cl1 перпендикулярной VT и Tt1 следовательно, перпендикулярной и Vt. Сферы (H) с центрами на прямой (5) — поляре (D) относительно (V) — ортогональны этой сфере и образуют пучок (/), для которого FV—радикальная ось. Радикальная плоскость сфер (T) и (Q) пересекает FV в радикальном центре J сферы (T) и пучка (/) [/—в плоскости (тс)]. Точка g
i5 П. С. Моденов
706
Ответы. Гл. XXVL ПЛАНИМЕТРИЯ СО СТЕРЕОМЕТРИЕЙ
пересечения прямой (G) с плоскостью (к) принадлежит радикальной плоскости сфер (T) и (Q1), ортогональной (V) вдоль окружности (C1), по которой сфера (V)
пересекается плоскостью (Д
тром V и радиусом следует,
id1) W)
V)
[-
одна из точек пересечения сферы с цен-
(д)]-
с прямой, проходящей через V параллельно
Отсюда
что Jg есть радикальная ось сфер (T) и (Q1) и пересекает (на конечном или бесконечном расстоянии) радикальную ось Fv сфер (V) и (Q1), причем пересечение происходит в точке, расположенной на прямой (d) и являющейся радикальным центром сфер (T)1 (V) и (Q1). Пусть h и К— проекции на (d) точек g и /, a j — точка пересечения прямой Fv с прямой, проводящей через /
параллельно (д). Тогда = -^. Но -^• = ^,
P FJ
следовательно, // = -~ -рггг = const, так как точки F1
RtV
VkJ фиксированы. Так как точка К также фикси-
gF р FJ рована, то -^- = -j- ^ = const и геометрическое
место точек g есть линия второго порядка с фокусом F и соответствующий ему директрисой (d). Предыдущим соотношением определяется и эксцентриситет этой линии. Дадим ему еще другое выражение: / есть также радикальный центр сферы (T) и сферы (Q1) с центром L1 в котором прямая (Ь) пересекает прямую (d')y проходящую через t параллельно (d). Радикальная плоскость сфер (T) и (Q^) перпендикулярна TL и пересекает плоскость (п) по прямой, проходящей через точку / и перпендикулярной LT и Tt9 следовательно, перпендикулярной и Lt, т. е. по прямой JK Отсюда следует, что точка К есть радикальный центр (T), (V) и (Q1) и, значит, лежит на радикальной плоскости (V) и (Qz), которая, проходя через (D), пересекает плоскость (п) по прямой FK, так как сфера (Q1) ортогональна сфере (V), то FK есть поляра точки L относительно окружности (v) [большого круга (V), лежащего в плоскости (тс)] и полюс прямой (dr) относительно этой окружности [прямая (d') проходит через точку L] есть точка t', в которой FK пересекается с перпендикуляром Vt1
Черт. 296.
Vt
опущенным из точки V на прямую (d'). Следовательно, Vt- Vt' = р2 и W=-
HL = YL
gh ж ko
зависит только от радиуса р сферы (V) и
iL
JK
Но -^7 =
Vv Vt'
= YL. Следовательно,
ко
и эксцентриситет указанной выше
линии второго порядка равен
Vt
он
от расстояния Vt от центра V сферы (V) до диаметра сферы (T)1 параллельного (D).
3°. Если радикальная плоскость сфер (V) и (T) не содержит (D)1 то в ней лежит не более двух пар действительных центров Р. Значит, для того чтобы геометрическое место центров P состояло из двух линий второго порядка, расположенных в плоскостях (Ri) и (R2), проходящих через (D), необходимо, чтобы радикальная плоскость сфер (V) и (T) содержала прямую (D). В этом случае точка T лежит в плоскости (к), и если v — одна из точек пересечения сферы с центром Vh радиусом ~ и прямой, проходящей через V параллельно (д), то сфера (V)
ортогональна [вдоль линии (С) пересечения ее с плоскостью (D, v)] сфере (Q1) с центром Q1 на прямой (5): (D) — радикальная ось сфер (V), (Q1) и (T). Для того чтобы точка P1 не лежащая на (D), но лежащая в плоскости (R)1 определенной прямой (D) и прямой (Д) плоскости (т:), проходящей через F1 служила центром сферы S(P)1 ортогональной (Q1) [в точке (С)] и ортогональной (T)1 необходимо, чтобы (R) была радикальной плоскостью сфер (T) и (Q1); следовательно, прямая (Д) и прямая Vv1 ей параллельная, должны быть перпендикулярны TQ1*, пусть Vv пересекает TQx в точке IV, a VQ1 пересекает Fv в точке со, тогда выполняется условие
Via • VQ1 = Vv • VlV; следовательно, VlV = ~ • р2 = ko. Необходимо, таким образом,
чтобы прямая (Д) была перпендикулярна касательной, проведенной из Г в плоскости (п) к окружности с центром V и радиусом ko. Итак, необходимое условие того, что геометрическое место точек P состоит из двух линий второго порядка, лежащих в плоскостях (Rx) и (R2), проходящих через прямую (D)1 состоит в том,
Ответы. Тригонометрия. Гл. XXVII. ТОЖДЕСТВЕННЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ 707
что радикальная плоскость сфер (D) и (T) проходит через прямую (D) и что точка T лежит вне сферы с центром V и радиусом kp (черт. 297). Это условие и достаточно. В самом деле, если оно выполнено, то из точки T можно провести две касательные: TW1 и TW2, к большому кругу сферы (V, kp) плоскости (тс). Пусть (A1) — перпендикуляр, опущенный из F на TW, a Vx—точка отрезка VWi
