Сборник задач по специальному курсу элементарной математики - Моденов П.С.
Скачать (прямая ссылка):
1 1 tc
у = (k — s) т: -j— arc cos —-|—;
y V 2 2/2 8
X = (? + s) тс--arc cos
2 2/2 8*
у = (k — s) тс —- arc cos *
2 2/2 8
= (& + 5) тс--arc cos
2 2/2 8
1 1 , tc
y = (*_S),__arccos_+-. 5. *= !--^(-1)- + (* + !),, y = l + ^(-iy + (k-^),, где ft и s-любые целые числа. 6. х = + -ї- ± і arc cos (2а — cos ср), у = — &тс +
+ -|- q: arc cos (2а — cos ср), где k и s — любые целые числа. 7. [(2?+2s+l) j, (2Aj — 6s — 3) ^-J , где k и s — любые целые числа. 8. х = 75° ± 180° As, у = 60° + 180/?. 9. X = 30° ± 180° As, у = 60° ± 180° As. 10. х = /гтс ± + + ~, у = -~ +
+ ~ ¦— йтг + —. Ц, X = 2&тс ± ™ , у = 2stc ± у. 12, X = + ^тс, у == тел + arc tg3,
Зте
z = --arc tg 3 — (k + л) тс, где k к п — любые целые числа. 13. х = 2?тс +
+ 2 arc tg [^- <* - 1) qp / Г^ї] f у = 2siz + 2 arc tg [(6 + 1) ± /F=T2].
14. x = 2* + |, y = ~-2k. 15. x = ?+ j (-1)*, У = -| — (—1)A "j- ~
Ответы. § 2. СИСТЕМЫ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ
717
16. x=j + k, у = у — k. 17. (k, \ — 1*У (j + k, — 18. x = ^ + 2n + k,
у = k; X = ~ + 2п + &, у = & + -I; х = 2п + k, у = у + k; x = ~r+2n-\-k,
У= 2" + ^.
19. л: = ~ + k,
• + п;
"3+k> у=='
+ п.
tgj/"—| _ ^2 + ?. Решение суще-
20. * = -arctgyj/ -__+,,,, у=-агс ствует, если один из параметров больше, а другой меньше единицы по модулю.
21. tg
ъх
26
¦ 1 . 1 , 1 , 9 . 1 / 1 . 9 \
± — arctg-^, у = s ± — arc tg —==-, г =— & — s + — [ arc tg —-==• + arc tg ^7=- \. тс V7 * V7 те\ */7^ /7/
4?
2 —V 2
2-і/ 2
2 + /2
? = ± 1,
4* ' 4? ' J 4k
24. x = k + n + VW^2t y==k-\-n — Vk2 — n2; x = k + n~-Vk2 — n2, у = k + n + /&2 — /г2, ? — произвольное целое число, удовлетворяющее условию
w>in 2, (1??, Izjjf»), да,_>_),
/ 2 —/14 2 + /14\ / —2 —/14 —2 + /14\ / 4 ± /2 4 + /2 \ V 6 6 /' \ 6 ' 6 /' V 6 6 /
(I [J+i±/^T(ITi)5], |[.+>±/і-(їті7]).
где & = 0, ±1, ±2, ±3, ±4, ±5 — всего 22 решения. 28. х = &те + arctg -^- +
+ E1 arc cos
/л2 + b2
, у == лте +arctg-
• є! arc cos
?2/?2 + ^2
2 * ' " 1 & b є2 = ± 1; решения существуют, если O2 + 62-<4.
, где є, == ± 1,
29. X = kr. + arc tg -g-,
2 2 2
у = (2/2 — ?) тс-}- arc ctg у; х = &тс — arc tg , у = (2/г + 1 — k) тс + arc tg-^-, где &
и л —любые целые числа. 30. х = 2#TC+2arctg{l±/б), у = 2stc + 2arctg(l +/б)9
ь а OU
У ~ — 2k~ +
где & и 5 — любые целые числа. 31. х — у + 2?тс ± arc cos ^ qp arc cos ~; решения существуют при условии |6 1<|2я|. 32. х= ~ — — +
+ ?- + (—1)* arc sin
у = f + T"~ ^ ~~ агс sin
2 cos(j-fl)
# — любое целое число. Решения существуют лишь при
2 cos
ь
2 cos
<1.
33.
д: = I + Ц- +1 (-1)* arcsin (2b - sin а), У = у --у (— \)k arcsin (26 — sin я),
решения существуют лишь при 12b — sin а\ < 1. 34. х = у + ?тс ± arccos (26 — cos а),
У = — &те qp arccos (26 — cos я).
я (1 + 6) cos а У = "2 — kr. q: arccos -——--
, 1 /2 sin а ± у arccos (—?--cos
I 2 sin я
off я . и _u (1 + cos а 35. л- = у + иг: ± arccos -—!—--
1 — 6
•)¦
(1 + 6) cos a 1 — 6
1 — 6
<1. 36. + Ате±
2 sin л
у = у— &те + — arccos I
«)•
•coso |<1. 37. ^ = ^т: + arctg — ctga± j/""^- + -^),
Ответы. Тригонометрия. Гл. XXIX. УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА
оо . kit . , л.ъ TC ЗтС kit , .vh It
у = а-х. 38. X = ^5- + _ + (-i)*_, y _(_!)*_. Указание.
sin* cos у = [sin (х + у) + sin — у)]. 39. Или sin 2х = cos у = 1, или sin 2х =
= cos у = — отсюда х и у. 40. Угол л: определяется условиями d(b — c cos а) ± с sin я Vb2 -\-с2 — d2 — 2bc cos а
sin х-
cos д: =
б2+ с2— 26с cos а de sin а + (6 — с cos a) /б2 + с2 — d2 — 26с cos я
б2 -{- с2 — 2bc cos # б2 + с2 — d2 — 2 6с cos # О (каждый раз с точностью до 2k%); у = а — х. 41, Угол х определяется условиями — cd sin а ± (6 — с cos a) Vb2 + с2 — о*2 — 26с cos 0
sin л: cos л: =
б2 + с2 — 26с cos а (b — с cos a)d (— с sin я) /б2 + с2 — — 26с cos а b2 -J-c2 — 26с cos a б2 + с2 — </з _ 2 6с cos a > О
(угол X определяется с точностью до 2&тс); у = а — х. 42, х = — 2?тс + ™ +
+ arccos ——— , у = 2&Г. ± arccos
1 т і V сіп /і ' і
т + 2 sin а т + 2 sin а *
т '<!. 43. X — любое
т + 2 sin а I
число, у = 2&тс ± л:. 44. X = пъ ± arccos —:-^- б"' у = — п~ х
e(Vn—іЛз) тс VT-I
arccos ^-^-+ ¦g-, где n — любое целое число. 45. х = &тс± aresin —g— »
у = st: -J- ~ ^ arcsin —^—~ у где & и 5 — любые целые числа. 46. X = RTt +
+ (~-l)? arcsin -q— , у = src + (—1)9 arcsin ——— г = — &тс—st:—(— 1)A arcsin ~--
о 10 о
— (—l)5 arcsin ~yg- + T- 51. Условие равенства тангенсов: л:=у— г + &тс, у = z — X + STCy где k и s — любые целые числа. Из написанных уравнений нахо-
