Сборник задач по специальному курсу элементарной математики - Моденов П.С.
Скачать (прямая ссылка):
k0
результатов первой части (планиметрия) заключаем, что если k < k0, то сферы Sk (P) вписаны в поверхность вращения [с осью (Д)], меридианом которой является гипербола с фокусами ср и ср' и эксцентриситетом -; если k > k0, меридианом является эллипс.
В. Г. Общий случай —точка V не лежит в плоскости (R).
а) Рассмотрим сферы S(P), центры которых лежат в плоскости (R) и которые
касаются сферы (V). Прямая Vx, параллельная (P), ортогональна (D) и лежит
в плоскости PHV; она пересекает HS в точке v. Так как Д vsV~ Д HsP, то
Vv Vs о р „ „
~ -~— = ри , откуда Vv = ~ и 5 лежит на одной из окружностей, (С)
или (С), являющейся сечением сферы (V) плоскостями (D, v) и (D, vf), где V
и v' — точки пересечения Vx и сферы с центром V и радиусом ~ ; сечения (С)
и (С) действительны, так как в силу k > 1 имеем ~ < р. Обратно: если точка s
лежит на окружности (С), то vs пересекает (D) в точке Н, a Vs пересекает (R)
PH Ps
в точке Р; PH _[_ (D) и -^— = -^-; следовательно, Ps = kPH. Таким образом,
геометрическое место точек s состоит из двух указанных окружностей: (С) и (С), и существует два семейства сфер S (P), удовлетворяющих поставленному условию: семейство Ф сфер S(P), касающихся (V) в точках окружности (С), и семейство Ф' сфер S(P), касающихся (V) в точках окружности (С). Геометрическое место (L) центров сфер семейства Ф есть пересечение плоскости (P) с конусом вращения, имеющим вершину V и направляющую окружность (С). Плоскость, параллельная (R) и проходящая через V, пересекает этот конус по двум действительным прямым [так как точка V лежит внутри (С), а прямая Vv принадлежит плоскости, проходящей через V параллельно (R)], половина угла Є между которыми
ь Vv I ... А
определяется соотношением cos 0 = -у- = ; значит, (L) — гипербола с эксцентриситетом k, фокальная ось которой есть прямая (R), по которой плоскость (R) пересекается с плоскостью, проходящей через V перпендикулярно (D); пусть плоскость (тс) пересекает (D) в точке Р, а окружность (С) — в точках S1 и S2; тогда Vsі и Vs2 пересекут (Д) в вершинах P1 и P2 гиперболы (L). Отрезок S1S2 лежит вне угла P1VP2, а так как (D) не пересекает (V), то P лежит внутри угла P1VP2, иначе, точка P расположена между P1 и P2.
б) Изучим сферы (ІЇ), ортогональные всем сферам Ф (черт. 292).
Сфера (Hx) с центром Q1, вписанная в указанный выше конус так, что она касается его по окружности (С), будет ортогональна сфере (V). Всякая сфера семейства Ф, касающаяся (V) в точке окружности (С), будет, конечно, также ортогональна (Q1); но центры сфер семейства Ф лежат на плоскости (R), поэтому они ортогональны всем сферам (Q) пучка (F), определенного сферой (Q1) и радикальной плоскостью (R). Ось пучка (P) есть перпендикуляр Q1A к плоскости (R), проведенный через точку Q1; этот перпендикуляр пересекает (R) в точке А, лежащей на прямой (Д) и служащей центром сферы (Q0) (действительной или мнимой) пучка (P). Сферы S(P1) и S(P2) семейства Ф имеют центры на прямой (Д); они принадлежат сети (г) сфер (ось. которой есть Qj^l), ортогональных сферам (Q). Следовательно, степени точки А относительно сфер S(P1) и S(P2) равны между собой: APj — P1S12 = АРІ — P2S2. Но АР\ — АР\ = 2P^P2. JO, где О — центр гиперболы (L) и P1S1 = kPxF, P2S2 = kP2F; следовательно,
UF 1 и потому -=г = — .
OA k2
Ответы. Гл. XXVI. ПЛАНИМЕТРИЯ СО СТЕРЕОМЕТРИЕЙ
701
в) Изучим теперь сферы (W)1 касающиеся всех сфер Ф (черт. 293). Окружность (qx) пересечения .S(P1) и (тс) имеет радиус IzPxF > PxFx и, значит, F лежит внутри (qx). Аналогично — точка F лежит внутри окружности (а2) пересечения 5 (P2) и (тс). Отсюда следует, что всякий луч, выходящий из P и лежащий в плоскости (г.), пересекает (qx) в точке tXl а (а2)— в точке t2. Точка F лежит внутри отрезка P1P2, и можно выбрать обозначения так, чтобы точка tx лежала внутри отрезка Ft2. Прямая Pxtx пересекает тогда сторону P2t2 треугольника FP2Jt2 в точке W1 а прямая, проходящая через W1 параллельная (А), пересекает отрезок txt2 в точке w. Треугольники txWw и j1P1P гомотетичны; треугольники t2Ww и I2P2F также гомотетичны; следова-
Ww Wtx Ww Wt2 и D. UDP тельно, —=^-, — = —. Но PJx= k.P1F
и P2t2 = k-P2F; следовательно, Wt1 = Wt2 = k • Ww и W есть центр сферы (W) радиуса pw = k-Ww, касающийся .S(P1) в точке tXl a S(P2) — в точке t2. Принимая сферу (W) за сферу (V) [см. выше В, 1°, а)] и применяя полученные там результаты, заключаем, что геометрическое место центров сфер S(P) с центрами на плоскости (R) и касательными к (W) в точках Черт. 293.
окружности (Cw), по которой сфера (W) рассекается плоскостью (D1 W)1 есть гипербола с вершинами P1, P2 и эксцентриситетом k: это гипербола (L)1 и, значит, сферы (W) касаются всех сфер Ф. Далее, P^1=P1W-?Wl P2t2= P2W-рw; следовательно, PxW + P2W = Pxtx + P2t2 = = k (PxF^rP2F). Ho точка F лежит между точками Px и P2. Значит, P1W+P2 W=kPxP2 и геометрическим местом точек W является эллипс, проходящий через фокусы гиперболы (L)1 причем (А) — его фокальная ось. Две сферы (W) с центрами нл плоскости (R)1 следовательно и на (А), которые мы обозначим через (Vx) и (V2), пересекаются плоскостью (тс) по большим их кругам (^1) и (v2), касающимся (ах) и (а2). Центры Vx и V2 этих сфер суть фокусы гиперболы (L) (или концы большой оси эллипса, являющегося геометрическим местом точек W). Далее, (R) — плоскость, в которой лежат центры сфер Ф, (Vx)H (V2). Сечения плоскостью (R) сфер Ф будут окружностями (а7), касающимися больших кругов (^1) и (у2^, по которым та же плоскость (R) пересекает сферы (Vx) и (V2). Таким образом, огибающая семейства окружностей (а') состоит из двух окружностей: (^1) и (W). Центр сферы (Qw), ортогональной сфере (W) и пересекающей ее по окружности (Cw), лежит на плоскости (тс). Эта сфера (Qw), ортогональна трем сферам сети (г): S(Px), S(P2) и плоскости (тс) (в которую вырождается одна из сфер этой сети), поэтому сфера (Qw) входит в пучок (F) сфер (см. выше). Плоскость, проходящая через Ft1I2 перпендикулярно (тс), — радикальная плоскость сфер (Qw) и (W); значит, прямая (D)1 по которой эта плоскость пересекается с радикальной плоскостью (R) сфер (12), есть радикальная ось как сфер (Q) [ибо она лежит в радикальной плоскости этих сфер], так и сфер (W). Рассмотрим случай, когда центр V сферы (V) лежит на плоскости (R). Обозначим через Tx и T2 точки пересечения со сферой (V) прямой (А), проходящей через точку V перпендикулярно (D), а через F — точку пересечения прямых (А) и (D): Рассмотрит* P T
