Сборник задач по специальному курсу элементарной математики - Моденов П.С.
Скачать (прямая ссылка):
такая, что Vvx = -|- . Перпендикуляр, опущенный из V на Fvx, пересекает эту прямую в точке to, a TWx — в точке S1. Так как Vvx = ^
и VWx = k?, то Kd)-VIi1 = P2 и Q1 является центром сферы (Q1), ортогональной (V) вдоль окружности (C1), по которой сфера (V) пересекается плоскостью (D, V1)] точка Q1 лежит, следовательно, на прямой (Ъ). Прямая (D) — радикальная ось сфер (T), (V) и (Q1) — ортогональна 71Q1, и так как (A1) перпендикулярна (D), то плоскость (Rx), проходящая через прямые (A1)H(Z)), есть радикальная плоскость сфер (Г) и (Q1). Сферы S(P), касающиеся (V) в точках окружности (C1), с центрами, лежащими в плоскости (Rx), будут ортогональны (T), и геометрическое место их центров есть гипербола (Z1), лежащая в плоскости (Rx). Аналогично: геометрическое место точек Р, лежащих в плоскости (R2) и служащих центрами сфер S(P), касательных к (V) и ортогональных (T) [(R) — плоскость, проходящая через прямую (D) и прямую (A2), проходящую через F перпендикулярно TlV2], есть гипербола (L2), лежащая в плоскости (R2).
Замечание. Если точка F совпадает с одной из точек Vx или v2, то соответствующая гипербола вырождается в две пересекающиеся прямые.
Черт. 297,
66. 0.
Глава XXVIL Тождественные преобразования § 1. Тождественные преобразования
П. 1. Тождества П. 2. Условные тождества
64. 1 — л = т2. 65. (2т2 — а2 — b2 — 2abn)2 = (Ъ2 — а2)2 (1 — п2). 66. (1 — b) (1 + 2b)2 = 2а2. 67. b(a2 — I)3 + 6 (я2— I)2 — 8 = 0. 68. a4 = 2a2 — b2. 69. (п — т)2 (q2 — г2) = = (л + т)2 (р2 + q2) sin'2 2а — 2рг (п2 — т2) sin 2а. 70. а2 + b2 = 2 (1 + с).
71. (а2 + b2) cos а = 2Ь. 72. tg2 Ъ + tg2 с = tg2 л (1 + tg2 6 tg2 с). 73. ab = (b — a) tg с.
§ 2. Суммирование
> nh
. /л + 1 Л . 2л:+ л,
sm\—§—h)sm--2~
--, если Ii Ф 2&тс, где k — целое число.
. h
SlIl у
. і і - . і 2л: + лл SHl -ріг— Д І соэ
\ ^ 2 2.---, если /г Ф 2&тс, где & — целое число.
sinT
,Inf,+ "<* + *>] sin (* + *Н* + 1>.
3#--—^-, если пф(2!г~\-1) тс, где ? — целое число.
cos 2
Г , л (л + тс)1 (л cos л: -j--~^—- sin —
+ тс)(л + 1)
cos 2
_--} если пф(2ь + 1) тс, где ? — целое число.
708 Ответы. Тригонометрия. Гл. XXVII. ТОЖДЕСТВЕННЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
(n+ 1) (тс — 2h) Г , л(тс —2/г)'
Sin __-!-ІЛ-L C08 - I- * >
5.-су?-, если sin —j-Ф 0. 6. а)
^__2h , .... 4 ^ v. a; -gjy.
sin—?-
, (ZZ + 1) (X + TC) . AZ (X + TC)
A4 sin (2/2лг) 2 2 J 2 sin л: 1 єсли smx^°- 7---^--. если
COS -g-
_.»<?* + *> si++ + *>] cos -у 0. 8.---, если cos X ф 0. 9. sin л*.
, /ZTC (л + 1) TC
sin -7T1- cos
«л sin22/2лг г f\ 4 4 2k 2k лґл Л 40 А тс 1
10. - если cos* 0. 11. -. 12, 0. 13. ctg T7-. 14.4-.
cos X .те 6 2zz 2
8ІП2й
1 Л ..ZZCOSAT Sin ZZAT cos (zz + 2) лт
15. -т. 16. 0. 17. —2---2ЖЗГ^-' если sitl^^0.
18. ^(cos2x-cos2"+^). 19. " _ ?__{ft cos + (" ~ _., если sin h Ф 0.
n sin «ft cos [2* + (n - D Ц есди gln д 0 2 « sin cos (я + 1) x
2 ' 2 sin zz 2 2 sin at
/ л оо n \ Sin zzat COS (ZZ+1) at , . л zz 0. zz . Sin 4zZat
если sin^O. 22. T +-2ЖГ-2-' ЄСЛИ Sin^°- 2 ' 24' ІГ + ЖІ'
Г /1 — 1-1 zzzz г . л-l .j , 3zza
о Sin J at -j----h I Sin -T5- л Sin ЗА' -j--pr-3/z Sin —cT~~
если sin 2*=?0. 25. 31 2 , 2 1 L 2 J 2
4 s Zz 4 3/z
sin -g- sin ~y
Г , (zz — I)ZZl . zz/z
А_2*т: . 9fi з COS AT + —g-Jsin-g-
если /z =5= -g— , где & — целое ЧИСЛО. 26. -
sin —
Г , 3/Z(ZZ-I)I 1 cos|3*+ \ >\
3/z (zz — 1)1 . 3/z/z 4 7 sin
4 . 3/z ' 3
sinT
. (/i +-1) лт , zzat 3at(zz + 1) , 3zz.r
sin-- Sin sin--__ sin----
2 Г, / 2^TC
, если /z —^— , где & — целое число.
3 2 2 1 2 2 , 2?тс
27. -j----:--o-, если at — , где
4 , at 4 .За: З . sin sin -g-
no 3 sin zzat cos nx , 1 sin 3zzat-cos 3zzat , kiz
k — целое число. 28. —-:--h --:—5-—, если x Ф -?— , где
4 sin at 1 4 sin Зат 3
u оо r\ or. a Oi Зґі j cos [4x + 2h (zz — 1)] sin2zz/z
/г —целое число. 29. 0. ЗО. 0. 31. — -4--l--і—_ ; nt—---
8' 8 sin 2h
cosf2AT + (zz — l)/zl sin zz/z t . &rc . nn zz sin at—sin nx
-----------1— 1 4 '---, если h Ф -ту-, где k — целое число. 32.--—
2 sin h 9 ^ " - T- з . .м^ - — ,
4 sin2 -g-
если sin f ^=0. 33. С+ 1)"п С*+ »*)- * sin [* + (/.+ 1)?]-sin* ^ если
4 sin2 -g-
sin~^0. 34. ctgy-ctg2»-«A:. 35. 2 [ctg ctg (2я*)]. 35. tg (" + ~tg *, если a: ?тс, где k — целое число. 37. ~ — arc tg —\—r-. 38. arc tg —^5-.
