Сборник задач по специальному курсу элементарной математики - Моденов П.С.
Скачать (прямая ссылка):
тогда через (F') окружность, полученную из (P) гомотетией ^P, ^ --\. Рассмотрим несколько случаев: "
а) Если (D) не пересекает (P), то окружность с центром Р, ортогональная (F'), пересекает (D) в точках M и M'; окружность с центром О, проходящая через M и M', пересекает (Д) в искомых точках P1 и P2, так как _____ ____ _____ ______ г2— AF2
Ответы. Гл. XXVI. ПЛАНИМЕТРИЯ СО СТЕРЕОМЕТРИЕЙ
703
Точка F расположена в этом случае между P1 и P2.
?) Если (D) касается (Г) (в точке Р), то P1 совпадает с Р, a P2 — точка, симметричная F относительно О.
7) Если (D) пересекает (P) в точках Cp1 и ср2, то (D) пересекает (Г') в точках у[ и <р?; перпендикуляр к (D) в точке ср{ пересекает в точке О' перпендикуляр к (A) в точке О, и окружность с центром О', касающаяся (D) в точке <р{, пересе-
кает (А) в точках P1 и P2, так как FP1 •FP2 = F^1 ==-___ Точки и P2
действительны, если O'cpj > О'О; используя это и соотношение OF = ^ ,
при-
ходим к выводу, полученному ранее аналитически: если
то
точки P1 и P2 действительны и различны; если AF •
Vk2
(с О); если ЛР <
Yk2
г, то точки P1 и P2 мнимые. В случае AF >
то они совпадают YW-
¦1
точка F лежит вне отрезка P1P2.
Переходим к исследованию вопроса существования сфер (V), касающихся Есех сфер (S) [ортогональных (Q)]. Сферы (S) попарно симметричны относительно плоскости (тг), поэтому если существует сфера (V), касающаяся есєх сфер (S), то ее центр должен лежать в плоскости (ъ). Пусть такая сфера существует и пусть какая-нибудь из сфер (S) касается сферы (V) в точке S. Эта сфера (S) ортогональна всем сферам пучка (P), определяемого радикальной плоскостью (R) и сферой (Q); значит, в частности, она ортогональна и сфере (Q1) этого пучка, проходящей через точку 5. Отсюда следует, что сфера (Q1) ортогональна сфере (V), пересекая ее по окружности (С), проходящей через S. Если другая из сфер (S), скажем (S)', касается сферы (V) в точке S', не лежащей на (С), то (V) ортогональна сфере (Qj) [пучка (P)], отличной от (Q) и проходящей через S'; отсюда следует, что центр сферы (V) лежит на плоскости (R). Если существует сфера (V), центр которой V не лежит в плоскости (R), то необходимо, чтобы сферы (S) касались (V) в точках окружности (С). Центр V сферы (V) и ось окружности (С) лежат в плоскости (к), и конус Еращения с вершиной V и основанием (С) пересекает (P) по линии второго порядка, являющейся геометрическим местом центров сфер (S); эта линия второго порядка имеет вершины в точках P1 и P2, лежащих на прямой (А). Таким образом, для того чтобы существовала сфера (V), центр которой V не лежит e плоскости (R), необходимо, чтобы точки P1 и P2 (определенные выше) были действительны и различны, т. е. или чтобы окружность (P) была мнимой, или чтобы
Yk2_і
окружность (P) была действительной и AF >---• г. Это условие и достаточно. В самом деле, если оно выполнено, точки P1 и P2 действительны, различны и лежат вне (Q). Значит, из точки P1 можно провести касательную P1S1 к окружности (со), по которой плоскость (т.) пересекает сферу (Q); Fs1 вторично
пересекает (со) в точке S2, а касательная к (со) в точке S2 пересекает P1S1 в точке V,
Черт. 294.
а (А) — в точке Р. Имеем P1S1 = kPxF > P1P; следовательно, /. S1FP1 > / P1S1P = = S1S2P (черт. 294 и 295), а потому прямая, проходящая через точку V параллельно (А), пересекает отрезок S1S2 в точке v. Треугольник SxVv гомотетичен треугольнику S1P1P1 а треугольник S2Vv гомотетичен треугольнику S2PF; следова-
Vv Vv P1E PF ц п ип -тельно, -J7- = -V7- = — = -jz—. Но P1S1 = kPxF; следовательно, Ps2 = kPF и
KS1 VS2 *\S\ Ps2
потому точка P совпадает с центром P2 сферы. S(P2)- Кроме того, Vs1 = Vs2 = kVv. Отсюда следует, что конус вращения с вершиной V, описанный вокруг (Q) вдоль
704
Ответы. Гл. XXVI. ПЛАНИМЕТРИЯ СО СТЕРЕОМЕТРИЕЙ
окружности (С) с диаметром S1S2, плоскость которой проходит через (D), пересекает (R) по гиперболе (L) с вершинами P1, P2 и эксцентриситетом к. Пусть P — произвольная точка (L); тогда PV пересекает (С) в точке s, a st/ пересекает (D) в точке Н; треугольники sVv и sP// гомотетичны, Р/7перпендикулярно (D) и Ps = k - PH. Значит, сфера с центром P и радиусом PH касается (V) в точке s и потому будет ортогональна (Q); указанная сфера, следовательно, входит в рассматриваемое семейство сфер (S). Других сфер (S), кроме сфер с центрами на (L) и касательных, к (V) в точках окружности (С), нет, ибо в противном случае на прямой, параллельной (D) в плоскости (P), содержалось бы более двух центров таких сфер. Итак, каждой сфере (Q) пучка (P) соответствует сфера (V), касающаяся всех сфер (S), ортогональных (Q). Геометрическое место центров V этих сфер есть эллипс, фокусами которого служат вершины P1 и P2 гиперболы (L), которая является геометрическим местом центров P сфер (S), ортогональных (Q). Так же как и в разделе В, устанавливается, что огибающая больших окружностей сфер (S), полученных сечением этого семейства.плоскостью (R), является совокупностью двух окружностей: (i/j) и (у2), полученных сечением плоскости (R) сфер (V1) и (V2), имеющих центры в плоскости (R).
