Сборник задач по специальному курсу элементарной математики - Моденов П.С.
Скачать (прямая ссылка):
оба заключены между — 1 + 1 ? 42. Найти все действительные значения а, при которых оба корня уравнения
будут действительны и какими неравенствами они будут связаны с — 1 и -j- 1 в зависимости от различных значений а? 44. Пусть x1 и x2 — корни уравнения
(а — 2) X2 — 2 (а + 3) х + Aa = 0
имеет один корень, больший 3, а другой — меньший 2? 41. Для каких действительных значений а корни уравнения
4х2 —- 2х 4-^=0
(2а 4- 3) x2 + (а 4" 1) * + 4 = 0
заключены между 0 и —2. 43. При каких действительных значениях а корни уравнения
(За + 2) X2 + (а — 1) х + Aa + 3 = 0
Вычислить через а,
а) x\-\-xi\ г)
б) х\~\-х2; д)
в) x1 + х2;
45. Пусть x1 и x2 —
корни уравнения
ах2 + 6х + с = 0 (афО). Вычислить в зависимости от а, Ь, с следующие выражения: a) Ax1X2 — х\ + 2X1x2 + Ах\х2 — х2;
X-X1 X — X2 '
(Зх1 + 1)(3х24 1) , ; (2X1 — 9) (2х2 — 9) '
§ 1. КВАДРАТНЫЙ ТРЕХЧЛЕН
46. Для каких значений а разность корней уравнения
2х2 — (а + \)х + а + 3 = 0
равна 1?
47. При каком значении а один из корней уравнения
x2 —7л-+ 2o = 0
будет вдвое более одного из корней уравнения
X2 — 5х + а = О?
48. При каких значениях а уравнения
(1 — 2а) X2 — бах — 1 = О,
ах2 — X + 1 = О
имеют общий корень?
49. Найти все значения а (в том числе и комплексные), при которых уравнение
X2+ (а + 1)х+ а2 = О
имеет хотя бы один действительный корень. 50**. Доказать, что если X1 и X2—корни уравнения
X2 —6х + 1 = 0,
то xj + х% при любом целом п является целым числом и никогда не делится на 5.
51*. Сколько существует уравнений вида х2 — рх — q = Q, где р и q — натуральные числа, положительный корень которых меньше данного натурального числа г?
52*. Доказать, что трехчлен
x2 + 5x-f 16
ни при каком целом х не делится на 169. 53*. Найти, какому необходимому и достаточному условию должны удовлетворять действительные коэффициенты O1, O1, а2, Ь2, аъ, bz, чтобы выражение
(*1 + M)2 + (Cl2 + Ь2Х)2 + (Af3 + M)2
было квадратом многочлена первой степени относительно х. Показать, что в этом случае корень многочлена равен любой из тех дробей
а\ а2 а%
h ^3 '
у которой знаменатель не равен нулю.
Верны ли выводы, если для ах, Ьх, а2, Ъг, аг, bd допускать и комплексные значения?
54. При каком действительном значении х выражение
(ax + b)2 + (cx + d)2,
где а, Ь, с, d.......действительные числа, имеет наименьшее значение. Найти
это наименьшее значение.
55. Доказать, что если а, Ь, с— длины сторон треугольника, то корни уравнения
o2x2 + (Ь2 + с2 — а2) X + с2 = 0
мнимые.
5 П, С. Моденов
66 Алгебра. Гл. VI. УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА ВЫСШИХ СТЕПЕНЕЙ
56. При каком необходимом и достаточном условии
(а + Ьх? + (а'+Ь'х?
будет квадратом многочлена первой степени относительно х. Показать, что если (а + Ьх)2 + (а' +- Ь'х)2 и (а + сх)2 + (a' + с'х)2 — квадраты многочленов первой степени относительно х, причем а2 + а/2ф0, то тем же свойством обладает функция
(Ь + сх)2 +{Ь' + сгх)\
Верны ли выводы, если для а, af, Ь, //, с, с' допускать комплексные значения?
57. I. Рассмотрим семейство квадратных трехчленов
F (х) = X2 — Sx +р = О, где 5 и рдействительные числа.
Введем на плоскости (FI) две взаимно-перпендикулярные оси координат Os и Op. Каждому квадратному трехчлену F (х) в плоскости (FI) соответствует точка с координатами 5 и р (и обратно).
1°. Найти геометрическое место точек M таких, чтобы уравнение F (х) = О имело двойной корень. Найти геометрическое место точек M таких, чтобы один из корней уравнения F (х) = 0 был равен -|- 1. Тот же вопрос, если корень равен —1. Указать в зависимости от положения точки M в плоскости (H) число корней уравнения F(x) = 0, заключенных между —1 и ~f-l.
2'. Найти геометрическое место точек M в плоскости (H) таких, что один из корней уравнения F (х) - - 0 равен данному числу а. Указать на этом геометрическом месте точку А, соответствующую трехчлену (х — а)2, и точку 7\ соответствующую трехчлену X (х — а). Найти огибающую прямых AT, если а изменяется от —со до -j-co.
3°. Пусть А, В, P—точки, соответствующие трехчленам (х — а)2, (х — Ь)2, (х — а) (х — Ь), где а и /; — два данных действительных числа. Построить точки А и В, исходя из положения точки Р. Найти геометрическое место точек М, соответствующих трехчлену (х — с)(х — сі) такому, что если па оси координат отметить точки с координатами а, Ь, с, а, то две последние разделят гармонически отрезок, ограниченный двумя первыми (а и Ь — постоянные, с и d — переменные).
II. Рассмотрим в плоскости (H) две точки с координатами
г,-- 11, р = 22 н s — 7, р=Ю;
каждой из них соответствует трехчлен F (х) = х2 — sx + р. Составим рациональную дробь у, у которой числитель — первый трехчлен, а знаменатель— второй. Определить целые значения х, при которых у будет также целым.
III. Рассмотрим теперь функцию
/ (.v) _^ cos2 а; — 5 cos X + р,
где X изменяется на сегменте [0, ~].
Каждой такой функции, как и ранее, поставим в соответствие точку M(s, р) плоскости (H).
