Сборник задач по специальному курсу элементарной математики - Моденов П.С.
Скачать (прямая ссылка):
(х-— а)(х —с) , (х —/;)(х — с)
6. -—--fr-,-г- -f- г----г~~—г — 1, Ь Ф с, с Ф a, a ^ Ь.
(b — а) (Ь — г) (а — /?) (а — с)
7. (о2 +- />2 i- ^2) *2 + 2 (а + /? - f с) X -f 3 = 0.
о I , 1 , .L =____L____
х ' а ' 0 х-{-а-\-Ь ' 9. (с -j- а - 2*) X2 -f - (а -f- ? — 2с) х + * -|- с — 2а =. 0.
Ю. ^:х+/Г4х--LV-
П. а(а+ 1)х2 -f-x — a (а — 1) = 0.
12. а (а 4- 2) х2 +- 2х — а2 +- 1 = 0.
13. (я2 4- а - 2) X2 4- (2а2 4- а 4~ 3) х + а2 — 1 ==. 0.
14. 4- —Ц- = ~- "4- т> я&=?0.
* і- _ л/ 1 у _ h п 1 h 1
X — а X — b а 1 b '
X 4" 0 ' + С X + Ь ~\~ С
Найти все значения параметра а, при которых корни следующих уравнений действительны, и определить знаки корней (задачи 16—19).
16. л*2 - 2 {а - 1) X 4- 2а 4~ 1 = 0.
17. (а 3) .х;2 — 2 (За — 4) х 4~ 7а — 6 = 0,
18. Зях2 —2(3я — 2) X 4-3(o— 1)-=0.
19. (а — 2) X2 — 2ах 4~ 2а — 3 = 0. 2D. Доказать, что уравнение
а" , Ьп' _ . X 1 X --- 1
где а и действительные числа, не равные нулю одновременно, имеет лишь действительные корпи.
62 Алгебра. Гл. VI. УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА ВЫСШИХ СТЕПЕНЕЙ
21« В уравнении
(k2~5k + 3)x^ (3&— l)x--f 2 = 0
определить к так, чтобы один из корней был вдвое более другого.
22. Определить все значения а, при которых уравнения
Xі + ах +I = 0, X2 + х + а = 0
имеют хотя бы один общий корень.
23. Определить значение а таким образом, чтобы один из корней уравнения
Х2 \5 х а2 Q
был квадратом другого.
24. Найти все действительные значения а, при которых трехчлен
(а2— \)х2 + 2 (а — 1)*+ 2
будет положителен при всех действительных значениях х.
25. Корни X1 и X2 уравнения
х2--Зах + а2 — 0
таковы, что
х\+х\=- 1,75.
Определить величину а.
26. Пусть X1 и .V2 — корни уравнения
x* + kx+l=0. Найти все значения kt при которых справедливо неравенство
27. Доказать, что если X1 и x« - корни уравнения
Л-2__ Г :-— 0,
где с — действительное число (г:-/'¦¦0), то
Xi -f- X2 -f Х1Х2 > 0.
28. Пусть X1 и X2- корни уравнения
X2— ах + а »~ 1 — 0,
где а — действительное число. Найти значение а, при котором величина выражения
2 , 2
Xi + Xo
будет наименьшей.
29. Корни уравнения
тх2 -f пх 4- // — 0 (тфО, пфО)
относятся как р:д. Доказать, что тогда при соответствующем выборе знаков перед радикалами
30. Найти все значення а, при которых корни уравнения
(I + а) х2 ~ Зах + Aa действительны и каждый из корней больше 1.
63
31. Доказать, что если между коэффициентами уравнений и
х2 +P1X -Hl = O, где р, q, P1, q1 —действительные числа, существует соотношение
PPi = Z(Q + Яі).
то, по крайней мере, одно из уравнений имеет действительные корни.
32. В каком промежутке должно изменяться число а, чтобы оба корня уравнения
X2 — 2ах ф а2 — 1 = 0
были заключены между 2 и 4?
33. Дано уравнение
ах2 {-Ьх ф с = 0,
где а, Ь, с - -действительные числа, афО, Ь1 — 4. а с > 0..
1°. При каком необходимом и достаточном условии корни X1 и X2 этого
уравнения будут заключены между числами р и q (р < q) ? 2°. Гір и каком необходимом и достаточном условии один из корней лежит
между числами р и q, а другой не лежит между этими числами?
34. Дано уравнение второй степени
(t 4~ 2) X2 — 2tx — t = Q.
1°. Исследовать, при каких действительных значениях t корни действительны
и каковы их знаки. 2\ Определить t так, чтобы корни были симметричны относительно
точки X=U
3\ Вычислить значения /, при которых уравнение имеет двойной корень,
и найти это г двойной корень. 4°. Показать, что если корпи уравнения действительны и различны, то они
гармонически сопряжены относительно двух фиксированных точек; найти
эти точки.
35. Даны два уравнения:
X2 {- 2X ф о = 0, (1 фа)(х2 4-2л- 4- а) - 2 (г. - \){х2ф~ 1)--0.
Доказать, что при действительных значениях а корни второго уравнения будут мнимыми, если корни первого уравнения действительные и неравные, и наоборот, если корни второго уравнения при действительном значении а мнимые, то корни псрвоіо действительные и неравные.
36. Расположить в порядке возрастания корни двух уравнений (а — действительное число):
Xі -—X-I=O, X2 4- ах — 1 = 0.
37. Доказать, что если корни уравнения
X2 4" рх ф~ q = 0 действительны, то корни уравнения
х2ф-(а 4-l)^4-^.-Ij2?=s=0
действительны (р, qua — действительные числа).
64 Алгебра. Гл. VI. УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА ВЫСШИХ СТЕПЕНЕЙ
38. Доказать, что если уравнение
х2 + рх + q = О
имеет различные действительные корни (р и # —действительные числа), то уравнения
*2 + (/>¦+" 2а) х ~t~ q + ap — 0, 3*2 + 2(р + а)л;+<7 +-яр = О,
где а — любое действительное число, также имеют действительные различные корни.
39. Найти действительные значения а, при которых корни X1 и X2 уравнения
2х2 — 2 (2а +-1) X +- а (а — 1) = О будут удовлетворять условию
X1 < а < х2.
40. Для каких действительных значений а уравнение
