Сборник задач по специальному курсу элементарной математики - Моденов П.С.
Скачать (прямая ссылка):
6 + с , с + а , а + 6 _а + 6 + с
6с — х'са — х'аб — х х '
где афО, ЬфО, сфО.
а + с j 6 + с _ а + 6 + 2с
X+ 26 ' х'-|-2а X +а +6 '
где а + сфО, Ь + сфО, а+-?+-2с=?0.
(х + а) (х + а + 6) _ (х — а) (х — а — 6)
(х + с) (х + с+ 6) (х- с)(х — с — 6) '
6 \ X2 — я3
4fi* /х + а\2 /х-а\2 /а , 6 \ х2-а- Q
(X — а)2 + (х — а) (х — 6) + (X — б)2 19 (х —а)2 —(х —а) (х —6) + (х —б)2 — 7"
(х + а) (х + 6) _(х + та) (хфтЬ)
(х — а) (х — 6) (х — та) (х — шб)' a(c — d) , d(a — b) b(c — d) ¦ с (а —6)
37. 38. 39.
X +а 1 X +а* х + 6 1 х + с
где афО, ЬфО, сфО, афО.
с О
40- тт^ + ^ +
где афО, ЬфО, сфО.
X -
76 Алгебра, Гл. VI. УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА ВЫСШИХ СТЕПЕНЕЙ
41* Ьфс — х^+фа — х'+а-\-Ь--х^3~~0'
где афО. ЬфО. сфО.
42.
(a — 2xf + (2a — xf ___(а — х (6 — 2x)*+{2b — xf ~"
43... (l±i + ?±?+»±? + 2)(_^ + _i_ + ^ + |),|. где афО. ЬфО.
AA** Je9-fa9 і *3-f63 д-з + сз з а Х — Ь х — с_ 3
44 * (а: + в)з (л: + b)» ~^ (х -(- с)* "+" 2 ' а: + л ' л" + b ' х -j- с ~ 2 '
40* (а —дг)2 + (л: —б)» 201-0
(а-ж)»+(д —ft? _211
л" (a-x)i+(x-b)i_ gi + b* л4_л,п
4" (а + 6_2д:)2 — (в + *)«* 0-Г-р?=и-
л — Jf і Jf — Ь a b , „ , , п
(х — д) (х — Ь) (х — с) _.
(X + a) (X + b) (X + с) — ¦
КО** (х+а + Ь)ь + (х + с + гр» ?
ои • (x + a + c)b+(x + b + d)*
(х ф а ф cf ф (х ф ti ф df (a — b + c — df 1
(п ф 1) (а* — а2х2 фх4) \ п / \ а2 — х2 /
§ б. Системы рациональных уравнений с двумя неизвестными
Решить следующие системы уравнений:
- . . 21 X v 35
1 • X ф- у — -тг ,-----=—.
8 у а 6
2. х2ф-уф-1=0, x+y+l =0.
3. x2 + j/2 = 0, хф-у= 1.
х? 111
у 1 а x ' у o
5. Jc3 —у = 19(jc — у), х*ф-у*=7(х-фу).
6. ^ + 3, + ^ = 7, ^24-^24-.^==13.
7. x2 + 3 = 2xj/, 6х2 — 113/2 == Ю.
8. X2 — хуф-у2= 7, x+v> = 5.
9. х2 + _у2=17, x+x,y + j/ = 9.
10. x2 + .y2 + x+j/=:32, \2(х ф-у) = 7ху.
11. (х - З0(х2 — J2)= 16, (x+ ^)(х2+ У) =40.
12. xj(x+j') = ЗО, x3+у* =35.
13. x3 = 5x+j/f у3 =: X ф- 5 Jv'.
14. 1— - = 4r> xv2 —x2 v = 324.
л* у 36 s
§ 5. СИСТЕМЫ РАЦИОНАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ДВУМЯ НЕИЗВЕСТНЫМИ 77
15. (x2+l)(j/2+1)=10, (X +V) (х V- 1) = 3.
16. -?(*2+J,2} = 6, il(X* —^)=1.
17. (X — 3/)(.*2+ У0 = 447, Xy(X-JO = 210.
18. x3 —j/3 = 26, x4 —j/4 = 20 (x+j/).
19. x3+ x3j/3+ j/3= 12, x+xj/ + j/ = 0.
20. (5х — 1) (Зу + 2) = (2х + 1) (9 у — 2), (3x + 2)(2j/-9) = -(x + 2)(j/ + 9).
21. x3+ j/3+ xj/(x+j/)= 13, x2j/2 (х2 + у2) = 468.
22. x4 —х2 + У — у2 = 612, х2 + ху + у2=:39.
23. A = T' *+У=12.
ху _ 9 : —3 ~~ 2 '
х2 + у2 _ 5_
24. = х2-у2 = 3.
25. /-j-x/ —2 л;2 = 0, х + у = 6.
26. *2у + ху2 = 30, 1 + 1 = |.
27. .V2 + / — 4х — Зу + 5 = 0, Зх2 + 3у2 — Ux-7у + 10 = 0.
28. ху++ + ^ + ^=13, xy_-l-f + ^12.
29. х2 —у2 + 3у = 0, х2 + 3ху + 2у2 + 2х + 4у = 0.
30. х-\-у-\-ху = 19, ху(х + у) = 84.
31. ху= 15, X +у 4-х2 + у2 = 42.
32. ху(х + у)=20, 1+1 = 1.
33. X2+ у2+ 2 (X+у) = 23, х2 + у2 + ху=19.
34. х* —х2у2+у4= 1153, X2 —ху + у2 = 33.
35. (х-\-у)(ху-\-1)=18ху, (х2 + .у2)(х2.у2 + 1) = 208х2/.
36. X3 = 31X2 — 4у2, у3 = 31 у2 — 4х2.
37. J?±JJ = 31, х2 + ^+у2 = 3.
38*. 16х2 + 26ху + 34у2 — 3Ox — 9Oy + 85 = 0,
1 Ix2 + 46ху + 14у2 — 6Ox — З0.у + 20 = 0. 39*. х3у + х3у2 + 2х2у2 + х2у3 + ху3 = 30,
х2у + ху + х + у + ху2 =11.
дп* Х + У — 5 ** + У* —257
' 1 + ху ~~ 4 ' 1 + x*/ ~ 32 *
41*. (х2+у2)(х+у)= 15ху, (х4 + у4)(х2 + у2) = 85х2у2.
до* х^ + ху + уъ + _ 49 х*-ху + у* 1-ху + хУ
(*+Х)а * ~8Г (х-у)2 ' (l-xyP"'-J-
43. Найти действительные решения системы
(1 + х + х2)(1 + У + У2) .. 13 (1+*)(!+у») _25
78 Алгебра. Гл. VI. УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА ВЫСШИХ СТЕПЕНЕЙ
§ 6. Системы рациональных уравнений с двумя неизвестными, содержащие параметры
Решить и исследовать следующие системы уравнений:
1. X2 — ху + яу = 0, у2 — ху — 4ах = 0.
2. х4 + х2у2 + у4 = а2, х2-\-ху-\-у2=\.
3. х-\-у = а, х4 + у4 = а4.
4. х-\-у = а, х5 + у5 = а5.
5. X-{-у = а, х6 + у6 = а6.
6. x-\-y = a, X7 + у7 = а7.
7. *3-f-у3 = я, х2у+ху2 = ?, а>0, 6 > 0.
8** у (1+^) _д у (1 X2) _
0 ' *(1 + У2) ' х(1-у*) -°-
9. Jt2~y2 = ?2, (X2_|_ у2)2 = ±а2Хул
10. л;5+у5_а5? х + у =
. 4 хъ — аъ . Ф — а> *
11. -г~У> і — хК
X—b J y—b
12. _^+_^ = *+Ув y-x = 2b, афЬ.аф-b.
13. x2 + y2 — 2ax — (a+ ft) у+ a2 +aft — ft2 = 0,
(a — b)x — 2by + b2 + 2aft — a2 = 0.
14.. ,Г+^2 + /_^^ = о, xy(x2 + y2)-4^-=0, где a vi b не равны нулю одновременно.
15. X4 + у4 = 2 (а4 + 6a2ft2 + б4), ху — а2 — ft2.
16. х + у==а, х4 + у4 = ?4.
