Аналитическая геометрия на плоскости - Минорский В.П.
Скачать (прямая ссылка):
§ 7. Поверхностные интегралы. Формулы Остроградского-Гаусса и Стокса
1°. Поверхностные интегралы. Пусть F(x, у, z) — непрерывная функция Hz = <р(х, у) — уравнение поверхности S, причем
д<р{х, у) д<р{х, у)
существуют--- и---.
ox Oy
Поверхностный интеграл первого типа представляет собой предел интегральной суммы:
F(x, у, z)dS = Hm y^F(xi; у{, Zi)ASi
(S)
где ASi — площадь г-го элемента поверхности S, точка (ж8; j/8; Z8) принадлежит этому элементу, причем максимальный диаметр элементов разбиения стремится к нулю. Если проекция а поверхности S на плоскость хОу однозначна, т. е. всякая прямая, параллельная оси Oz, пересекает поверхность S лишь в одной точке, то соответствующий поверхностный интеграл первого типа может быть вычислен по формуле
F(x, у, z) dS
(S)
Если P = Р(х, у, z), Q = Q(x, у, z), R = R(x, у, z) — непрерывные функции и S+ — сторона поверхности S, характеризуемая направлением внешней нормали n{cos а; cos ?; cos 7}, то соответствующий
7. Поверхностные интегралы
239
поверхностный интеграл второго рода выражается следующим образом: P dy dz + Q dz dx + Rdx dy = JJ (P cos a + Q cos ? + R cos 7) dS.
(S + ) (S)
2°. Формула Остроградског о-Г а у с с a:
ffffdP dQ dR\
(P cos a + Q cos ? + R cos 7) dS = / / / —--h т;--1- "тг~ ^2/ ^z,
JJJ \ox dy dz J
(S) (V)
где a, ? и 7 — углы внешней нормали замкнутой поверхности S1 и осями координат, а V — объем тела, ограниченного этой поверхностью. Первый интеграл можно записать в виде
dx dy dz J dF/dz '
где F(x, у, z) = 0 — уравнение поверхности, a Sz — проекция S на плоскость хОу.
3°. Формула Стокса: P dx + Q dy + R dz =
(С)
dR dQ\ fdP dR\ n (dQ dP ,
—---7Г- cos a + —---— cos ? +----— cos 7
dy dz J \dz dx J \ dx dy
dS,
(S)
где a, ?, 7 — углы, образованные осями координат с нормалью к поверхности S, направленной в ту ее сторону, с которой обход контура С рассматривается происходящим против часовой стрелки.
2410. Вычислить
(х cos a + у cos ? + z cos 7) dS (S)
по верхней поверхности плоскости X + у + z = а, расположенной в первом октанте.
2411. Вычислить
// [X* cos (П, i) + у2 cos (П, J)+,2cos(H, k)] dS (S)
по верхней поверхности параболоида ж2 + у2 + Iaz = а2, расположенной во втором октанте (где ж < 0, у > 0, z > O).
240
Гл. 13. Двойные, тройные и криволинейные интегралы
тт ї ї з з 2\dx dy Указание. Приведя интеграл к виду I I (х +у + az )-, перейти к полярным координатам. Угол <р будет изменяться от 7г/2 до 7Г.
2412. Написать и проверить формулу Остроградского для интеграла
//[*co.(n, D + .coMn, J) + ,«»(., к)] «,
взятого по поверхности шара ж2 + у2 + z2 = a2.
2413. Написать и проверить формулу Остроградского-Гаусса для интеграла
//[*>co.(n,i)+»>co.M + ^n,k)]«,
(S)
взятого по наружной поверхности тела, ограниченного поверхностями ж2 + у2 + 2az = а2, ж = 0, у = 0, z = 0, внутри первого октанта.
Указание. Двойной интеграл по плоским граням тела равен О, ибо, например, на плоскости Z = Oh cos (n, i) = 0 и cos (n, j) = 0.
2414. Полагая в формуле Остроградского-Гаусса P = ж, Q = у, R = z, получить формулу для объема:
V=— JJ [ж cos a + у cos ? + z cos 7] dS.
(S)
Вычислить по этой формуле объем эллипсоида
ж2 у2 Z2
--1- — H--= 1-
а2 Ь2 с2
дії
2415. Полагая в формуле Остроградского-Гаусса P = —, Q =
Ox
дії дії
= — и R = — (т. е. полагая вектор {Р; Q; R} равным gradti), Oy OZ
доказать, что
/С сіп / — dS,
(V) (S)
д2и д2и д2и где Au = ——- + —— + —— — оператор Лапласа. ох1 оу1 OZ1
7. Поверхностные интегралы
241
2416. Проверить полученную в предыдущей задаче формулу для функции u = ж2 + у2 + z2 на поверхности х2 + у2 + z2 = а2.
2417. Показать с помощью формулы Стокса, что
У dx-\-xz dy-\-ху dz
{C)
по любому замкнутому контуру равен нулю. Проверить это вычислением интеграла по контуру AOAB с вершинами О(0; 0; 0), A(I; 1; 0) и B(I; 1; 1).
2418. Написать и проверить формулу Стокса для интеграла
J) (z — у) dx + (ж — z) dy + (у — ж) dz, (С)
взятого по контуру AABC с вершинами А(а; 0; 0), -В(0; а; 0) и С(0; 0; а).
Указание. Двойной интеграл можно взять по любой поверхности, проходящей через периметр треугольника ABC, например по плоскости X + у + z = а.
2419. Написать и проверить формулу Остроградского-Гаусса для интеграла
//[x'cc.to.ij+^cc.to.jj + ^cto.k)]«,
(S)
взятого по поверхности шара ж2 + у2 + z2 = а2.
Указание. Тройной интеграл преобразовать к сферическим координатам.
2420. Написать и проверить формулу Стокса для интеграла
<j> x(z — у) dx + у(х — z) dy + z(y — ж) dz (С)
по контуру треугольника с вершинами А(а; 0; 0), -В(0; а; 0) и С(0; 0; а) (см. указание к задаче 2418).
2421. С помощью формулы Остроградского-Гаусса вычислить
JJx3dydz+y3dxdz+z3dxdy, (S)
взятый по наружной поверхности пирамиды, образованной плоскостями X А у A z = а, ж = 0, у = 0, Z = 0.
Глава 14
РЯДЫ
§ 1. Числовые ряды
1°. Ряд u\ + U2 + из + . . . + Un + . . . называется сходящимся, если сумма ,Sn его п первых членов при п —У со стремится к конечному пределу S: Hm ,Sn = S. Число S называется суммой сходящегося ряда.
