Аналитическая геометрия на плоскости - Минорский В.П.
Скачать (прямая ссылка):
2463. Показать, что ряд
ж + ж(1 — ж) + ж(1 — ж)2 + ж(1 — ж)3 + . . .
сходится неравномерно на отрезке [0, 1] и равномерно на отрезке [1/2, 1]. При каком п остаток |і?га(ж)| < 0,01 для любого ж на отрезке [1/2, 1]?
? я
Ж, • — , •''
•' »Xj
2464. Показать, что ряд----1---... сходится равномерно
12 3
на отрезке [0, 1]. При каких п и любом ж на этом отрезке |і?га(ж)| <
< 0,1?
X^
2465. Показать, что ряд ж3 H--- +--- + ... сходится
1 + хЛ (1 + хАу
неравномерно при ж > 0 и равномерно при ж ^ 1. При каком п остаток |і?га(ж)| < 0,001 для любого ж ^ 1?
111
2466. Показать, что ряд . H--. H--. +
л/ГТ^ Зл/1 + Зж 32л/1 + 5ж
1
H-- = + ... сходится равномерно в интервале 0 ^ ж < со.
3 л/1 -)- 7ж
При каком п (и любом неотрицательном ж) остаток ряда |і?га(ж)| <
< 0,01?
Указание. Сравнить данный ряд с числовым сходящимся рядом.
1111 2467. Показать, что ряд —------1—-------К • •
Р ж2 + 1 ж2+4 ж2+ 9 ж2 + 16 сходится равномерно на всей числовой оси. При каком п (и любом ж) остаток ряда |і?га(ж)| < 0,0001?
3. Степенные ряды
247
2468. Показать, что ряд
1 1 1
х(х + 1) (ж + 1)(ж + 2) (ж + 2)(ж + 3)
сходится равномерно к — в интервале 0 < ж < оо. При каком п (и
ж
любом ж > 0) остаток ряда |і?га(ж)| < 0,1?
2469. Показать, что ряд
1111
л/1+ X V22 + 2ж V24 + Зж V26 + 4ж
сходится равномерно в интервале 0 ^ ж < оо. При каком п остаток ряда \Rn{x)\ < 0,01?
§ 3. Степенные ряды
Пусть дан степенной ряд
а0 + а±х + а2х2 + . . . + anxn + . . . (1)
Число R называется радиусом сходимости ряда (1), если при \х\ < R ряд сходится, а при \х\ > R — расходится. R можно найти или исследованием абсолютной сходимости ряда (1) по признаку Даламбера, или,
когда все ai отличны от нуля, по формуле R = Hm —— . В частности,
п—>оо an_|_i
если этот предел равен оо, то ряд (1) абсолютно сходится на всей оси Ох.
Степенной ряд сходится не только абсолютно, но и равномерно на любом отрезке [а, Ь], лежащем внутри интервала сходимости (-R, R).
Определить интервал сходимости ряда и исследовать его сходимость на границах интервала:
? я
•' »Xj
2470. 1 H---Y —о--Y -5--Y ¦¦¦
3-232-333-4
Ж, • ' , • '
•' »Xj
2471. 1--- +----- + ...
5^2 52УЗ 53Vi
2ж 4ж2 8ж3
2472. 1 H--- H--— H--— + .
32^3 52V^ 72Узэ
OO
\п — 1
2473. J2 —г- 2474- E
п=1 п=1 п
248
Гл. 14. Ряды
OO OO ri^ тп
2476. 1) Y х ¦ пп 2) Y 7-W
п=1 п=1 \п + 1J""
, (ж+ I)2 (ж+ I)3 (ж+ I)4
2477. ж + 1 + V ' + V о; + V ; + ... v; 2-4 3-42 4-43
2ж - 3 (2ж - З)2 (2ж - З)3
2478.----— + --— - ...
1 3 5
Определить интервал сходимости ряда и найти его сумму:
2479. 1 + 2ж + Зж2 + 4ж3 + ...
X
Указание. Для нахождения суммы S найти сначала j S dx.
о
.Xj .Xj
2480. ж---1-----Y ...
3 5 7
v тт- dS
Указание. Найти сначала ——.
ClX
2481. 1 + Зж + 5ж2 + 7ж3 + ...
Указание. Обозначив сумму ряда через S, составить выражение S — Sx в виде суммируемого ряда.
т т(т — 1) 0 т(т — 1)(т — 2) „
2482. IH--ж H-----ж2 H-------ж3 + ...
1 1-2 1-2-3
S' S'x
Указание. Показать, что--1--= S, и решить это дифферент т
циальное уравнение.
Определить интервал сходимости ряда и исследовать его сходимость на границах интервала:
2ж 4.1'2 8ж3
2483. 1 + -== + - + - + ...
V7^o V9 • 52 Vl3 • 53
ж2 ж4 ж6
2484. 1 --7= H---=--т= + ...
3 • 2^2 З2 • 3^3 З3 • 4лД
оо J^Qn^n 00 ,,.2га-1
2485. }Г ——. 2486. Y (-1
іП— 1
гг=1 гг=1 2и — 1
X-I (ж-I)2 (ж-I)3
2487.--Y--тт- +--+ ...
1-2 3 • 22 5 • 23
4. Ряды Тейлора и Маклорена
249
2ж + 1 2ж + 12 2ж + 13
2488. -— + ^-—^— 4- ^-—^- + ...
14 7
Определить интервал сходимости ряда и найти сумму:
2489. 1 - Зж2 + 5ж4 - 7ж6 + ...
X
Указание. Для нахождения суммы S найти сначала J S dx.
о
2490. ж + — 4- — 4- ...
v ті- dS
Указание. Найти сначала ——.
dx
2491. 1 - 4ж + 7ж2 - 10ж3 + ... Указание. Составить выражение S + Sx.
§ 4. Ряды Тейлора и Маклорена
1°. Формула Маклорена:
т = до) + ^x++ _+Дп(ж);
где Rn(X) = ?-rf(n)(?x), 0 <С в < 1. и!
2°. Формула Тейлора:
/(я) = /(a) + (х - а) + Ж(* - а)2 + . . . + Rn(x), (2)
(г — п\п
где ДП(Ж) = 1 j /(") [а + % - а)].
3°.Ряды Маклорена и Тейлора. Если в формулах (1) и (2) Rn(%) —ї 0 при и —У оо, то из этих формул получаются бесконечные ряды:
/М=/(о) + ^ + ^ + .., (з)
fix) = f(a) + Ц^(х -а)+ f^l(x - af + . . . , (4)
сходящиеся к f(x) при тех значениях х, при которых Hm Rn (х) = 0.
250
Гл. 14. Ряды
4°. Разложение в ряды элементарных функций:
1+ 1! + 2! + 3!
SHl X = X-
COS X=I
3 5
X о I X
3! 2 5! 4
X 2І X + ?"
1 + т
-X +
1
сходятся к соответствующей функции при всех значениях х;
(1 + х)т = 1 + —ж H--j—--X + . . . — биномиальный ряд; он
сходится к биному (1 + ж)т при |ж| < 1;
In (1 + ж) = ж--?г + "5--••• сходится к In (1 + ж) при — 1 < ж ^ 1;
arctg ж = ж---1---... сходится к arctg ж при |ж| < 1.
3 5
2492. Разложить в ряд по степеням ж функции: 1) cos (ж — а);
