Аналитическая геометрия на плоскости - Минорский В.П.
Скачать (прямая ссылка):
2273. 1) ж2у" - 2жу' + 2у = 4ж;
2) ж3у" + Зж2у' + жу = 6 In ж.
2274. 1) ж2у" - 4жу' + 6у = ж5; 2) ж2у" + жу' + у = ж.
§ 12. Системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами
Решить уравнения:
dx dx dy
2275. — + у = 0,----^ = 3ж + у.
at at at
dx , dy ,
2276. — + ж - у = ef, -f - X + у = ef. at at
Указание к задаче 2275. Продифференцировав первое из уравне-
dt/
ний по t, исключаем из трех уравнений у и —.
at
гіж rfy .
2277. 5— - 2-f- + Ax - у = е~\
dt dt
+ 8ж - Зу = 5e_f. rft У
2278. ж - 4ж + 4ж - у = 0,
у+ Ay+ Ay - 2Ax = 16е*.
Решить уравнения:
2279. ж + Зж + у = 0,
у — ж + у = 0, ж = 1, у = 1 при t = 0.
2280. ж = у, у = ж + 2sht.
224
Гл. 12. Дифференциальные уравнения
§ 13. Линейные дифференциальные уравнения в частных производных второго порядка (метод характеристик)
2281. Найти общее решение (содержащее две произвольные функции) уравнений:
d2u d2u d2u 1 du
дх ду ' ду2 ' дхду х ду '
. d2u X
4 -Z-Z-= 2а-+ Ъ. дх ду у
Указание. Положить —— = z.
ду
d2z
2282. Найти частное решение уравнения ——;г = 0 по началь-
дхг
dz
ным условиям: z = у3, — = у2 при х = 1.
дх
2283. Преобразовать уравнение
d2u ^ д2и з^2и Q дх2 дх ду ду2
к канонической форме и найти его общее решение.
2284. Преобразовать уравнение
/д2и д2и 9<92
и
- а 2 + 2ХУ+ У Л~2 = 0
дхг дх ду дуг
к канонической форме и найти его общее решение.
В следующих дифференциальных уравнениях найти общие решения, а если даны начальные условия, то и частные решения:
2285 ^U 4 ^U 4^2^ О дх2 дх ду ду2
d2u d2u du
2286. —— - —— = 0; u = sin у, — = у при х = 0.
дхг дуг дх
d2u d2u du
2287. х-- + у =0; u = 2у + 1, — = у при х = 1.
дхг дх ду дх
13. Метод характеристик 225
du nd u 0 d
Q KJ LL Q KJ LL о KJ U О
2288. t2—= - X1—= = 0; u = 2ж2, — = ж2 при t dt2 dx2 dt
Найти частные решения дифференциальных уравнений:
d2u d2u du du
2289-^ + ^ + Ж = 0;И = 0' Ж = -*-1при* = 0.
du du „du d
u
2290. Aa2X-- - -—r- + 2a2— = 0; U = O1 — = ax при t = 0.
dx2 dt2 dx dt
du du „, ч 9
2291- «2^І = и = •^)' Ж = F^ при * = °-
Глава 13
ДВОЙНЫЕ, ТРОЙНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
§ 1. Вычисление площади с помощью двойного интеграла
1°. Двойным интегралом от непрерывной функции F(x, у), распространенным на ограниченную область (S) плоскости хОу, называется предел соответствующей двумерной интегральной суммы:
F(x,y)dxdy= Hm F(xi; ук)Ах{Аук,
max Ахг —)-0 ¦ , (S) тахДук->0 1 К
где Ахі = Хі+і — Xi, Ayk = Ук+1 — Ук и сумма распространена на те значения ink, для которых точки (ж8-; ук) принадлежат области (S). Площадь S области (S) определяется формулой
S = JJ dx dy.
(S)
2°. Если область (S) определяется неравенствами a <С х <С Ь, у\(х) <С У У'2,(х), причем каждая из непрерывных кривых у = у\(х) ту = = у2(х) пересекается с вертикалью х = X (х\ < X < X2) только в одной точке, то
Ь У2ІХ)
F(x,y)dxdy = J dx J F(x,y)dy,
(S) " Уі(х)
У2(х)
где при вычислении интеграла J F(x, у) dy величину х полагают по-
Уі(я)
стоянной.
3°. Если область (S) определяется неравенствами h <С у <il, х\(у) <С <С X <С х2(у), причем каждая из непрерывных кривых х = х\(у) и х = = х2(у) пересекается с горизонталью у = Y (у\ < Y < у2) только в одной точке, то
I х2(у)
F(x,y)dxdy = J dy J F(x,y)dx,
(S) h X1(V)
1. Вычисление площади с помощью двойного интеграла 227
Х2ІУ)
где при вычислении интеграла J F(х, у) dx величину у полагают постоянной.
4°. Если область (S) определена в полярных координатах неравенствами cpi <С Lp <С ip2, r\(ip) <С r <С г2(р), то площадь этой области
S = JJ r dr dip = J dip J r dr.
(S) Vi n(ip)
Записать с помощью двойных интегралов и вычислить площади, ограниченные линиями:
2292. жу = 4, у = х, х = 4.
2293. I) у = ж2, Ay = ж2, у = 4; 2) у = ж2, Ay = ж2, ж = ±2.
2294. у2 = А + ж, ж + Зу = 0.
2295. ay = X2 — 2ax, у = ж.
2296. у = In ж, ж — у = 1 и у = — 1.
2297. Построить области, площади которых выражаются интегралами:
a X а лД2-!/2 а \/2а2-ж2
1) J dx J dy; 2) J dy J dx; 3) J dx J dy.
OO 0 a-y О X
Изменить порядок интегрирования.
Указание. Чтобы получить уравнения линий, ограничивающих область, нужно пределы интеграла по dx приравнять х, а пределы интеграла по dy приравнять у.
2298. Построить области, площади которых выражаются ин-
1 2-х2 О О
тегралами: 1) J dx J dy; 2) J dy J dx. Изменить порядок
О X -2 у2-А
интегрирования и вычислить площади.
2299. Вычислить площадь, ограниченную линиями г = = а(1 — cosy?) и г = а и расположенную вне круга.
2300. Вычислить площадь, ограниченную прямой г cos ср = a и окружностью г = 2а.
Вычислить площади, ограниченные линиями:
2
2301. жу = —, жу = 2а , у = —, у = 2ж.
Указание. В задаче 2301 выгодно перейти к новым координатам ху = и и у = vx, после чего площадь определяется по формуле
