Аналитическая геометрия на плоскости - Минорский В.П.
Скачать (прямая ссылка):
3) f(x) есть сумма или произведение предыдущих функций.
В этих случаях частное решение уі имеет тот же вид, что и f(x), отличаясь от нее только коэффициентами.
Исключения составляют особые случаи, когда:
1) f(x) — многочлен, но г = 0 — корень характеристического уравнения кратности к;
2) f(x) = етх (a cos пх + Ь sin пх), но г = т + ш есть корень характеристического уравнения кратности к.
В этих особых случаях уі отличается от f(x) не только коэффициентами, но еще и множителем хк.
3°. Метод вариации произвольных постоянных. Более общим приемом решения неоднородного линейного уравнения является метод Лагранжа, или метод вариации произвольных постоянных.
Если уі и ?/2 — независимые частные решения уравнения у" +ру' + + qy = 0, то решение уравнения у" +ру' +qy = f(x) по методу Лагранжа находится в виде у = Ayі + By2, где А и В — функции х, удовлетворяющие системе уравнений
A'yi + В'у2 = 0, А'у'1+В'у'2 = f(x).
Отсюда
А'
У2І{х)
Решить уравнения:
В'
yif{x)
Уі 2/2
Уі У''2
2214. у" -Ay = 8х3.
2213. у" - 2у' + у = е2х. 2214. у"
2215. у" + Зу' + 2у = sin 2х + 2 cos 2х.
2216. у" + у = X + 2ех. 2217. у" + Зу' = 9х. 2218. у" + Ay' + Sy = 5х2 - 32х + 5.
2219. у" - Зу' + 2у = ех
= 2к sin kt.
2220 2221.у
dt2
" 2у = же"
2223. у" + by' + 6у = е~х + е
2224. ж + 2кх + 2к2х = Ък2 sin kt.
2222. у" - 2у' =
2х
10. Примеры дифференциальных уравнений разных типов 221
2225. у"' + у" = 6ж + е~х. 2226. yIV - 81у = 27е~3х.
2227. 'х + X = Ш2. 2228. у"' + Sy = е~2х.
2229. 1) X + Ax + Ax = e~2t; 2) а3ж + ax = 1.
1 е2ж
2230. у" + 4у = . 2231. у" - 4у'+ 5у
sm 2ж cos ж
2232. у" - 2у' + у = ж" V. 2233. у" + у = tg ж.
2234. 1) у" + у' = —Ц; 2) у" + 4у' + 4у = Є—.
1 + ех ХЛ
2235. Единица массы движется по оси Ox под действием постоянной силы а, направленной по оси, при сопротивлении движению, численно равном скорости движения. Найти закон движения, если при t = 0 имеем ж = 0 и скорость и = 0.
Решить уравнения:
2236. у" + у' - 2у = 6ж2. 2237. у" - 5у' + 6у = 13 sin Зж.
2238. у" + 2у' + у = ех. 2239. у" + у' + 2, 5у = 25 cos 2ж.
2240. 4у" - у = ж3 - 24ж. 2241. у" - у = е~х.
d2s ds о
2242. —г + 2--Ь 2s = 2t3 - 2.
dt2 dt
2243. 1) у" — 2my' + m2y = sin mx; 2) n3y" — Any = 8.
2244. yIV + 5y" + 4y = 3 sin ж.
2245. у"' - Зу" + 3y' - у = ex.
Следующие уравнения решить методом вариации произвольных постоянных:
2246. у" + Ay' + Ay = е~2х In ж.
2247. 1) у"+ у = —^; 2) у" + Ay 1
Q) " У I — .о
coso ж sm ,
2248. у" - 2у' + у 6
\/А - X2
§ 10. Примеры дифференциальных уравнений разных типов
Определить тип дифференциального уравнения и решить его:
2249. у'H--— = е~х. 2250. у' + у tgж = tgx.
1 + X
2251. (ж - ж3)у' + (2ж2 - 1)у = ж3.
222
Гл. 12. Дифференциальные уравнения
2252. (1 + х2)у' + у(х - Vl + ж2) = 0.
2253. t2 ds + 2ts dt = ef dt. 2254. жу' = 4(y + Vv) ¦
2255. 2жуу' = 2y2 + л/у4 + ж4.
2256. жу" + у' = In ж. 2257. уу" - 2у'2 = 0. 2258. у" - т2у = е~тх. 2259. у'ж In ж + у = 2 In ж.
2260. жу' + у In - = 0. 2261. 2у' + у = у3(ж - 1).
X
2262. у"' - 2у" + у' = ж2. 2263. у" = у' + у'2.
d3s ds
2264. — - 3— - 2s = sin і + 2 cos і.
dt3 dt
2265. 1) sm tds = ^4?sin2 ^ + s^j dt; 2) уу'ж - у2 = 1.
2266. 1) жу' + у(ж tgж + 1) = sec ж; 2) у"' + у = е~х.
Зх
2267. 1) у" - Зу' + 2у = -^—=-, 2) у"'у = у"у'.
1 + ezx
2268. Цилиндр радиуса а дм и массой т = а3 кг плавает в воде при вертикальном положении оси. Найти период колебания, которое получится, если цилиндр немного погрузить в воду и затем отпустить. Сопротивление движению принять приближенно равным нулю.
2269. Полый железный шар с радиусами поверхностей а я 2а имеет постоянную температуру внутренней поверхности 100 0C и наружной 2O0C Определить температуру внутри стенки на любом расстоянии г от центра (a ^ г ^ 2а) и при г = 1, 6а.
Указание. Скорость падения температуры —— в проводнике со
dr
стационарным распределением температуры обратно пропорциональна площади поперечного сечения.
§ 11. Линейное дифференциальное уравнение Эйлера
п (п) + i п-1 („-I) + +„_!'+„=()
Частное решение однородного уравнения (при f(x) = 0) можно найти в виде у = xr, где г — постоянное число. Для нахождения г нужно подставить у = хг в однородное дифференциальное уравнение и решить полученное характеристическое уравнение относительно г. При этом:
1) каждому вещественному корню г = а кратности т соответствует т частных решений ха, ха 1пж, ха(1пх)2, . . .;
2) каждой паре мнимых корней г = a±?i кратности т соответствует т пар частных решений:
ха cos (/3In х), ха cos (/3 In х) In х, ха sin (/3In х), ха sin (/3 In х) In х, ...
12. Системы линейных дифференциальных уравнений 223
Неоднородное дифференциальное уравнение Эйлера решается методом вариации постоянных.
Решить уравнения:
2270. 1) ж3у"' - Зжу' + Зу = 0; 2) х2у" - 2у = 0; 3) х2у" + 2ху' - п(п + 1)у = 0.
2271. 1) х2у" + 5ху' + Ay = 0; 2) ж2у" + жу' + у = 0.
2272. 1) жу" + 2у' = 10ж; 2) ж2у" - Qy = 12 In ж.
