Аналитическая геометрия на плоскости - Минорский В.П.
Скачать (прямая ссылка):
7. Дифференциальные уравнения высших порядков
217
§ 7. Дифференциальные уравнения высших порядков, допускающие понижение порядка
1°. Уравнение вида j/™) = f(x) решается последовательным n-кратным интегрированием правой части. При каждом интегрировании получается одна произвольная постоянная, а в окончательном результате — п произвольных постоянных.
2°. Уравнение F(x, у', у") = 0, не содержащее у в явной форме,
- / // dP
подстановкой у = р, у = — приводится к виду
dx
F{X>P> fx)=0'
3°. Уравнение F (у, у', у") = 0, не содержащее х в явной форме, dp dp
подстановкой у' = р, у" = — = р— приводится к виду
dx dy
F (У, Р, P-J-J=0-
Решить уравнения: 6
2163. 1) у"' = —; начальные условия: у = 2, у' = 1, у" = 1
Xі
при X = 1; 2) у" = 4cos2a;; у = 0, у1 = 0 при х = 0; 3) у" = 1
1 + ж2
2164. ж3у" + ж2г/ = 1. 2165. уу" + у'2 = 0.
2166. у" + у' tg ж = sin 2ж. 2167. у" + 2у(у')3 = 0.
2168. у"ж In ж = у'. 2169. у" tg у = 2(у')2.
2170. 1) жу" - у' = ехх2; 2) у" + 2жу'2 = 0.
2171. Определить кривую изгиба горизонтальной балки, один конец которой наглухо заделан, а на другой действует сосредоточенная сила P (весом балки пренебречь и считать изгиб настолько малым, что 1 + у'2 й 1).
2172. Определить кривые, у которых радиус кривизны вдвое больше длины нормали.
2173. Определить кривые, у которых радиус кривизны равен длине нормали.
2174. На отрезке [0, 1] определить кривую, касающуюся оси Ox в начале координат, если кривизна ее k = ж, т. е. равномерно нарастает вдоль оси Ox (переходная кривая). Принять приближенно, что 1 + у'2 Ki 1.
218
Гл. 12. Дифференциальные уравнения
Решить уравнения:
2175. у" = 1 In 2 у' = 1 при ж 7Г
2 ' У = = —.
COS2 X 2 4
2176. (1 + , х2)у" + 2ху' = ж3 . 2177. у"у3 = 1.
2178. 2уу" = (у')2- Cl2S ds
2179Л^ + dt
2180. 2уу" = і + у'2. 2181. у"ig ж = у'
2182. Определить кривые, у которых радиус кривизны равен кубу длины нормали.
2183. В интервале ( — тг/2, тг/2) определить кривую, касающуюся оси Ox в начале координат, если кривизна ее в любой точке к = cos ж.
§ 8. Линейные однородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами
Однородное линейное дифференциальное уравнение
где pi — функции х, имеет общее решение вида
У = С1У1+С2у2 + ... + Спуп, (2)
где j/1, г/2, • • •, jzn — линейно независимые частные решения уравнения (1), а С\, C2, ¦ ¦ ., Cn — произвольные постоянные.
Если коэффициенты pi, р2, . . .,рп уравнения (1) постоянны, то частные решения 2/1, j/2, • • •, jzn находятся с помощью характеристического уравнения
rn+pirn-1 + ...+pn = 0. (3)
1) Каждому вещественному корню г = а уравнения (3) кратности m соответствуют m частных решений eax, хеах, . . ., xm~1eax.
2) Каждой паре мнимых корней г = а ± ?i кратности т соответствуют т пар частных решений:
eaxcos?x, xeaxcos?x, хт~1еах cos ?x,
eaxsin?x, xeaxsin?x, xm~1eaxsin?x.
Решить уравнения:
2184. у" - Ay' + Зу = 0. 2185. у" - Ay' + 4у = 0.
2186. у" - Ay' + 13у = 0. 2187. у" - Ay = 0.
2188. у" +4у = 0. 2189. у" + 4у' = 0.
d2x dx d2p
2190. — + 3— - 4ж = 0. 2191.4—4 + д = 0.
dt2 dt dip2
9. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения 219
2192. — + 2— + 2s = 0; при t = 0 s = 1, s' = 1.
2193. у"' - Ъу" + 8у' - 4у = 0.
2194. yIV - 16у = 0. 2195. у"' - 8у = 0.
2196. у'" + Uy" + За2г/ + а3у = 0.
2197. yIV + Ay = 0. 2198. 4yIV - Зу" - у = 0.
2199. Определить уравнение колебаний маятника, состоящего из массы то, подвешенной на нити длиной / (сопротивлением пренебречь и положить, что при малом угле а отклонения sin а и а). Определить период колебания.
2200. Два одинаковых груза подвешены к концу пружины. Под действием одного груза пружина удлиняется на а см. Определить движение первого груза, если второй оборвется (сопротивлением пренебречь). Определить период колебания.
2201. Решить задачу 2200 с учетом сопротивления, пропорционального скорости движения.
Решить уравнения:
2202. у" + Зу' + 2у = 0. 2203. у" + 2ау' + а2у = 0.
.. . d/ X dx
2204. у" + 2у' + 5у = 0. 2205. — - 2— - Зж = 0.
J J J dt2 dt
d2x 0 d2s ds
2206. — + Lo2X = 0. 2207.— + а— = 0.
dt2 dt2 dt
2208. xtt + 2xt + Зж = 0. 2209. у"1 - Зу" + 4y = 0.
2210. yIV - Зу" - 4y = 0. 2211. yIV + 8y" + 16y = 0.
2212. Найти интегральную кривую уравнения у" — у = 0, касающуюся в точке (0; 0) прямой у = ж.
§ 9. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами
1°. Основное свойство. Пусть даны уравнения:
+ Ріу(п~ґ^ + • • • + РпУ = f{x) — неоднородное, (1)
2/(n) + Р\У(п~1) + ... + РпУ = 0 — однородное (2)
и пусть и — общее решение уравнения (2), а у\ — частное решение уравнения (1). Тогда общее решение у уравнения (1) будет
у = и + у±. (3)
220
Гл. 12. Дифференциальные уравнения
2°. Метод неопределенных коэффициентов. При постоянных pi, Р2, ¦ ¦ •, Pn частное решение уі находится методом неопределенных коэффициентов в следующих случаях:
1) f(x) — многочлен;
2) f(x) = етх (a cos пх + Ь sin пх);
