Аналитическая геометрия на плоскости - Минорский В.П.
Скачать (прямая ссылка):
2553. Да
2554. /(а
2555. /(а
Рис. 35
Рис. 36.
2557. Распространение тепла в стержне длиной / определяется уравнением
1 du д2и a2 dt dx2'
где u(x, t) — температура, и условиями
1) граничными: и = 0 при х = 0 и при х = /;
при X < 1/2, . . .„ при і = 0.
/ — X при а; > 1/2
Определить методом Фурье функцию и(х, t).
2558. Продольные колебания стержня длиной /, у которого один конец (при X = 0) закреплен, а другой (при х = I) свободен, определяются уравнением
2) начальными: и
1 д2и
О2
и
о2 dt2 дх2'
где и(х, t) — продольное смещение, и условиями
ди
1) граничными: и = 0 при х = 0; — = 0 при
дх
ди
2) начальными: и = f(x), — = 0 при t = 0. Определить методом Фурье функцию и(х, t).
258
Гл. 14. Ряды
2559. Поперечные колебания стержня длиною / с закрепленными концами определяются уравнением
1 д2и дАи O2Ik2 + дх^ = °
и условиями
д2и
1) граничными: и = 0 и ——<- = 0 при х = 0 и х = I:
ох2
2) начальными: и = /(ж) и — = 0 при t = 0. Определить методом Фурье функцию и(х, t).
В задачах 2560-2562 написать интеграл Фурье для функции:
„/ ч Г 1 при 0 < ж < 1, „. . „. .
2560. /ж = <^ _ F ' и / -ж = - / ж . J v 7 \ 0 при ж > 1 J v 7 J v 7
2561. /(ж) = e~?x при ж ^ 0 и /(-ж) = /(ж).
2562. /(ж), заданной на отрезке [—2; 2] графиком на рис. 36 и равной нулю вне этого отрезка.
Разложить в ряды Фурье функции:
2563. /(ж) = П Х при 0 < ж ^ 7Г,
/(-ж) =/(ж), /(Ж + 27T) = /(ж).
2564. /(ж) = I sin ж|; с помощью полученного ряда показать, что 111 1
+ — + — + •••
1-3 ' 3-5 ' 5-7 ' "' 2"
•>как ff \ /х ПРИ 0 ^ ж ^ тг/2,
2565./ж) = <^ я Д-ж) = -f(,r).
[ 7Г - ж При 7Г/2 ^ ж ^ 7Г V У -V У
2566. /(ж) = ж при 0 ^ ж ^ /,
/(-ж) = /(ж), Дж + 2/) = /(ж).
2567./(ж) = (1 ПРИ -^'Г<?' uf(x + 2) = f(x). J v 7 [ж при 0 < ж ^ 1 ^ v 7 J v 7
2568. /(ж) = е* при -/ < ж < / и /(ж + 2/) = /(ж).
7. Ряд Фурье. Интеграл Фурье
259
2569. Методом Фурье решить уравнение
д2и д2и dt2 дх2
при условиях:
ди
1) и = 0 при X = 0, — = 0 при X = 7г:
аж
2) и = f(x) и — = 0 при t = 0.
2570. Написать интеграл Фурье для функции
1 при — 1 < X < 1,
•^Ж) 1 0 при І ж I > 1.
ОТВЕТЫ
1. AB = 9, BC= -6, AC = З, 9-6 = 3. 3. 5(2 +J2), 90°, 45°. 5. 20 6. 5л/2. 7. (5; 5), (5; -3). 8. 5(0; 2) и 5(0; -4). 9. ж = а ± л/с2 - Ь2 при с > |6| две точки, при с = |6| одна, при с < |6| ни одной. 10. М(5; 0) 11. Центр (1; -1), 5=5. 12. пр^АВ* = -2, np^As" = -4, |AB*| = 2л/5 13. 5(5; 8), |A~5*| = 3л/2. 14. 5(4; -3). 15. -4, 1, 3. 16. 18 л/2 17. (0; 2,9). 18.5(4; 0), 5і(-8; 0). 19. Центр (2; -1), R = 5. 21.X = 7
Y = -1; 5л/2. 22. M(I; 4). 23. М(13; 16). 24. х
т\Х\ + т2х2
ті + т2
26. В 26см от центра шара массой 100г. 27. (1; 2,5). 29. OC = 5 24л/2
OD = -. ЗО. (3; 3). 31. 9. 33. 13. 34. (1; 3), если силы направлены в одну сторону, и (25; 27), если — в разные стороны. 35. (1; —1)
ta 10^2 ->v X1+ X2+ х3 уі +2/2 + Уз /37 13
36. -. 37. X = -, у = -. 38. —; —
З 3 3 V27 27
39. Сі(3; 0), С2{-7; 0). 40. М(2; -6), ЛГ(5; 8), 5(-4; 1), к = 7/3 42. X2 + у2 — 6х — 8у = 0, А и О лежат на окружности. 43. х — у — 2 = 0
X2
DnE лежат на линии. 45. х2 + у2 = 8. 46. у = +х. 47.--\- у2 = 1
5
X2
48.2/=— -х+2. 49.у = +2х. 51. (1; 0), (3; 0), (0; 3). 53. у2 = 8(х-2). 54. 2х — у + 5 = 0. Точки BnD лежат на линии. 55. х2 + у2 = 4.
57. у = Х— + 1. 58. J(x + 2)2 + (у + 2)2 - J(x - 2)2 + (у - 2)2 = 4 или ху = 2; при х = ±1/2, ±1, ±2, ±4, у = ±4, ±2, ±1, ±1/2; по этим точкам можно построить кривую. 59. 1) у = х + 3; 2) у = —х + 3. 60. 1) у = X Ji - 3; 2) у = -жл/3 - 3. 62. у = -1,5ж. 63. 1) = 2/3, Ь = -2; 2) к = -2/3, 6 = 0; 3) к = 0, Ь = -3; 4) к = -3/4, 6 = 3. 65. к = 1, 6 = 1, 2/ = X + 1. 66. 1) I + = 1; 2) + 1 = 1-
67. 2/ = 0; 4ж - 32/ = 0; у = 4; 4ж - Зу + 12 = 0. 68. - - - = 1 или
2 3
+ у = 1. 69. пв0хА~І = 8, np0yA~5* = 6, IA^I = 10. 70. А и С — на прямой, 5 — «выше», a D — «ниже» прямой. 71. Неравенства определяют: 1) все точки, лежащие «выше» прямой у = Зж + 1 (полуплоскость); 2) все точки, лежащие «ниже» прямой у = Зж + 1; 3) все точки, лежащие «выше» прямой у = 4 — 2ж и на самой прямой; 4) точки,
Ответы
261
лежащие «ниже» прямой у = 4 — 2ж. 73. х — у = ±а. 74. Через t секунд координаты точки M будут х = a + mt, у = Ь + nt. Исключив
X — а у — Ь /к г.
t, получим уравнение траектории: - = -. 75. 1) у = х\/б — 2;
m п
2) у = -хх/З-2. 76.? = 1,6 = 5. 77. ж + г/-4 = 0, х-у + А = 0; г/ = 3,
X у X у X у ,
у = 0. 78.-±|=±1. 79.- + | = 1и—+ -^ = 1. 80.г/ = ±2(ж + 3).
81. AB = Ал/Ъ, пр0:сІї} = 4, пр0иІ5* = 8. 82. 1) arctg 2) 45°; 3) 45°;
у 4
а2 - б2
4) 0°; 5) 90°; 6) arctg ^ . 86. 5ж + 2у + 4 = 0, 5ж + 2у = 25. 88. X - Зу + 2 = 0, 5ж - у = 4, Зж + у = 12. 89. 28°, 12°30' и 139°30'. 90. у = Зж и г/ = -^ж. 91. ж - 5г/ + 6 = 0, 5ж + у = -4.
92. г/ = 2ж-6, у = -2ж + 6. 93. (3; -1), (3; 3), (-9/5; 3/5); 45°, 71°34', 63°26'. 94. (5/2; 5/2). 95. AE: 2х - Ъу = -4, AD: ж - 2у = -2; ^29. 96. А = 18°26', В = 26°34', С = 135'. 97. ж + 2у - И = 0. 98. tgA = 4/3, tgB = tgC = 2; S = 16. 99. (1; -1), (8/3; -2). 100. 2ж + у = -4, 2ж - у = -4, 2ж + у = 4. 103. 2, 8; 0; 1,4. 105. V^3/2. 106. к = ±2. 107. Две прямые, параллельные данной: 4ж — Зг/ ± 20 = 0. 108. 8ж - 15г/ + 6 = 0, 8ж - 15г/ = 130. 109. ж-г/ = 0иж + г/-4 = 0. 110. Зж - у = 12 и ж + Ъу = 4. 111. ж + г/ = 2 или 4ж + г/ - 8 = 0. 112. 31ж + 26г/=-21. 113.ж + Зг/ = 2. 114. л/Ш- 115. Зж - 4г/+ 10 = 0; ж = 2. 116. /г = 18/У34. 117. Прямые: ж + г/ = 0иж-Зг/ = 0; расстояния: c?i = 2л/2, (? = 0,4VTO- 118. Пара прямых: ж + Iy = О и ж + 2г/ = 10. 119. ж + Зг/ = 0 и Зж + у = 0. 120. 11ж + 22у = 74. 121. у = -ж/2 иг/ = -Зж/2. 122. ж + 2г/ = 4. 123. г/ = 0, 2ж + Зу = -4;
