Сфероидальные и кулоновские сфероидальные функции - Комаров И.В.
Скачать (прямая ссылка):
На рис. 30а, б изображены фазы A.mq(k, R), которые необходимы для вычисления сечения рассеяния на двух кулоновских центрах (см. § 1 гл. II и §3 гл. III).
7. Сведения о таблицах. В настоящее время накоплен большой опыт численных расчетов термов Еj(R) и волновых функций Фу(г; R) задачи двух центров. Практическая реализация изложенных алгоритмов на ЭВМ для расчетов состояний молекулярного иона водорода
202
началась с работы Bates и др. (1953); наиболее полные результаты получили Madsen, Реек (1971).
В табл. 13 систематизированы результаты, достигнутые к настоящему времени.
Задачу ZieZ2 при Zi=5^Z2 впервые рассмотрели Bates and Carson (1956), которые вычислили пять низших состояний системы НеН++ (Z:=l, Z2=2) в интервале значений R=0(0,25) 1 (0,5)5. В работах Пономарева и Пузыниной (1966, 1970) этот алгоритм ^усовершенствован и вычислены термы систем Z:eZ2 при Zx = \, 2^=3,4,5,6,7,8 (Пономарев и Пузынина, 1967а, б). В настоящее время создано несколько программ для вычисления термов и волновых функций задачи ZyeZ2 при произвольных Zy и Z2, в частности Helfrich und Hart-mann (1970), Power (1973), Aubert и др. (1074 a, 6).
Десять низших термов конечного диполя (Zt = l, Zj=—1) вычислено в работе Wallis и др. (1960).
Алгоритмы для вычисления собственных значений и волновых функций непрерывного спектра задачи Zi«Z2 развиты в работах (Shimizu, 1961, Пономарев и Сомов, 1975).
§ 4. Асимптотические разложения решений задачи двух кулоновских центров при R —>- со
1. Асимптотические разложения 3mq (р, 2p[J; ц) и Пт*(р, 2ра; %) и соответствующих им собственных значений >,прир-»-оо. При неограниченном возрастании межцентрового расстояния R и фиксированных номерах собственных значений k, q, т к бесконечности стремятся параметры р, а и р, b
р=(—2?)1/2 Я/2->со,
(4.1)
a=(Z2+Zl)R-+QO, b=(Z2—Zl)R-+±oo. Введем обозначения
га— —__Z2 + Zi а _ ь _ zi — z\
и будем считать аир величинами порядка единицы. Для построения асимптотических разложений решений задачи ZxeZ2 по большому параметру R необходимы следующие асимптотические разложения р. к. с. ф. и у. к. с. ф. по большому параметру р
Лтк (р, 2ра; I), р_> оо, т = 0(1), ?=0(1), а = 0(1),
(4.3)
Sm,(p, 2р0; т]), р->оо, 0(1), <7 = 0(1), р = О (1).
(4.4)
203
С помощью преобразований
U(t) = (12-1)* П».(р, 2ра; |), (4.5)
V(т)) = (1-п2) * Sm9(P. 2рр; т|) (4.6)
уравнения для р. к. с. ф. и у. к. с. ф. (1.28), (1.14) приводятся к нормальному виду — отправной точке построения асимптотических разложений
U" (I) + [- Ра + 2P^1_-V) + U (6) = 0, (4.7)
V"(r)) +
, , 2р (p4)+v)
1 — tl«
+ -(T^w]y(T,)=;0- (4>8)
Здесь введено обозначение
v = V(2p). (4.9)
Простое вычисление по теории возмущений показывает,
что при выполнении условий, указанных в (4.3), (4.4), справедлива оценка v — 0(1).
На границах интервалов определения функции U(%), V(t\) обращаются в нуль
{/(|)|6«i = 0, t/(g)-.-О, (4.10)
У(т|) !„__,, ~0. (4.11)
Нормировка функций U(%) и V(r\) следует из нормировки р. к. с. ф. и у. к. с. ф.
|(&«- 1)-Ч/«ф<*6«1, (4.12)
f (l~Ti2)-1Va(Ti)dTi = l. (4.13)
Асимптотические разложения U(%) и V(y\) при р-»-оо можно строить обоими способами, указанными в предварительных замечаниях § 5 гл. I. При вычислениях по теории возмущений уравнения (4.7), (4.8) удобно рассматривать как одномерные уравнения Шредин-гера с энергией —р2 и потенциалами и(|) и v(y\)
204
соответственно
u(l) = -^T^-1^, (4Л4)
v^) = -^^-i^r- (4-15)
Разложим потенциалы «(|), w(i|) на простейшие
дроби:
u (I) - [- p (a + v) -f —j—j pj-j- + -4— щпу* +
+ |_p(a-v)+__j__ + 4 (l_lf =
= и_(|) + и+(|), (4.16)
/ \ Г /о \ i m2—1 "1 1 . m2 — 1 1
о(4) = |P(P- v) + -^r-JT+^ + —Г" (T+Iiji +
+ [-P(P + v)+^]T^+mV1
= »_(»1) + Мч). (4.17)
В каждом из потенциалов и(|) и у (11) выделены слагаемые и+(|), «-(|), v+(r\), v-(r\), имеющие в точках |, 11 = ±1 полюсные особенности первого .и второго порядков. Коэффициенты при особенностях второго порядка (центробежных) одинаковы и определяются азимутальным квантовым числом т. Коэффициенты при особенностях первого порядка (кулоновских), т. е. вычеты потенциалов и(|), v(r\) в точках ±1, зависят от всех параметров р. к. с. ф. в случае (4.16) и у. к. с. ф. в случае (4.17).
В качестве потенциала невозмущенной задачи в радиальном уравнении берется «+(1). В угловом уравнении в качестве потенциала невозмущенной задачи нужно брать либо v-(r\), либо v+(r\). Детальные расчеты этим методом в литературе отсутствуют.
Для построения асимптотических разложений U(%) и V(r\) здесь используется метод эталонного уравнения (§ 5 гл. I).
Рассмотрим угловое уравнение (4.8). При р->оо оно имеет следующие точки перехода: полюсы потенциала v(r\) при rj = r±r 1 (4.15) и близкие к ним точки
205
поворота
Ч_«=-1 +j<~P+v), r,+ = l-i(p + v). (4.18)
Эталонным уравнением вблизи каждого полюса является уравнение для функций Уиттекера с измененным масштабом (5.66) гл. I. Решение строится в двух перекрывающихся интервалах изменения т)
