Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление - Эльсгольц Л.Э.
Скачать (прямая ссылка):
§ 4. Нелинейные уравнения первого порядка
Рассмотрим сначала случай, когда искомая функция зависит от двух независимых переменных. Уравнения в частных производных первого порядка с тремя переменными имеют вид
F(x, у, z, р, q) = 0, (5.28)
где
_ dz _ dz
Р~~дх' g~l)y•
Дифференциальное уравнение (5.28) в каждой точке (х, у, z) той области, в которой изменяются первые три аргумента, устанавливает
§ 4]
НЕЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА
261
-у
зависимость ф(р, q) = 0 между числами р и q, определяющими направление нормали N(p, q, —1) к искомым интегральным поверхностям z = z(x, у) уравнения (5.28).
Таким образом, направление нормали к искомым интегральным поверхностям в некоторой точке (х, у, z) не определяется точно, а лишь выделяется однопараметрическое семействе везможных направлений нормалей — некоторый конус допустимых направлений нормалей N(p, q, —1), где р и q удовлетворяют уравнению ф(/>. ?) = 0 (рис. 5.3).
Следовательно, задача интегрирования уравнения (5.28) сводится к нахождению поверхностей z = z (х, у), нормали к которым были бы в каждой точке направлены по одному из допустимых направлений конуса нормалей в этой точке.
Исходя из этой геометрической интерпретации, укажем метод нахождения интеграла уравнения (5.28),
зависящего от произвольной функции, если известен его интеграл Ф(х, у, z, а, Ь) = 0, который зависит от двух параметров а и Ь.
Интеграл Ф(х, у, z, а, Ь) = 0 уравнения (5.28), зависящий от двух существенных произвольных постоянных а и Ь, называется полным интегралом.
Так как исходное дифференциальное уравнение (5.28) налагает ограничения лишь на направление нормалей к искомым интегральным поверхностям, то каждая поверхность, нормали к которой совпадают с нормалями к интегральным поверхностям в тех же точках, будет интегральной поверхностью. Следовательно, интегральными поверхностями будут огибающие двухпараметрического или однопараметри-ческого семейства интегральных поверхностей, так как нормаль к огибающей совпадает с нормалью к одной из проходящих через ту же точку интегральных поверхностей семейства.
Огибающая двухпараметрического семейства интегральных поверхностей в предположении существования ограниченных частных произ-
дФ дФ дФ ~
водных -^-, -^-, -gj, не обращающихся в нуль одновременно,
дФ дФ
и существования производных -^- и -^- определяется уравнениями
Рис. 5.3.
Ф(х, у, z, а, Ь) = 0,
дФ да
(5.29)
N
262 уравнения в частных производных первого порядка [гл. 5
— полный интеграл.
Выделяя из двухпараметрического семейства интегральных поверхностей Ф(х, у, z, а, Ь) = 0 произвольным способом однопараметри-ческое семейство, для чего считаем b произвольной дифференцируемой функцией параметра а, и находя огибающую однопараметрического семейства Ф(х, у, z, a, b (a) )==0, мы также получим интегральную поверхность. Огибающая этого однопараметрического семейства в предположении существования ограниченных производных функции Ф по всем аргументам и не обращения в нуль одновременно дФ дФ дФ
производных ""fa > ~ду~ • определяется уравнениями
Ф(х, у, z, а, Ь(а)) = 0 и -^-{Ф(л\ у, z, а, Ь(а)))=0
или
Ф(х, у, z, a, b(а))==0 и =0. (5.30)
Эти два уравнения определяют множество интегральных поверхностей, зависящее от выбора произвольной функции b=b(a). Наличие в уравнениях (5.30) произвольной функции, конечно, не дает права утверждать, что уравнения (5.30) определяют множество всех без исключения интегральных поверхностей исходного уравнения (5.28); например, это множество, вообще говоря, не содержит интегральной поверхности, определяемой уравнениями (5.29), но все же наличие в уравнениях (5.30) произвольной функции .обычно уже позволяет выделить интегральную поверхность, удовлетворяющую заданным начальным условиям Коши (см. стр. 242).
Итак, зная полный интеграл, уже можно построить интеграл, зависящий от произвольной функции.
Нахождение полного интеграла во многих случаях не вызывает затруднений, например:
1) Если уравнение (5.28) имеет вид F (р, (/)==0 или p=<p(q), то, полагая q = a, где а — произвольная постоянная, получаем
р =.- ф (a), dz = р dx ~\- q dy = ф (а) dx -4- ady,
откуда
z = ф (а) X -4- ay -f - b
— полный интеграл.
2) Если уравнение (5.28) может быть приведено к виду ф; (х, р) = = Фг(У. q)< то, полагая Cp1(X, р)==Ф2(.У. q) = a, где а — произвольная постоянная, и разрешая, если это возможно, относительно р и q, получим P = Tp1(X, a), q = ty2(y, а),
dz = рdx 4- q dy = Ip1 (дг, a)dx-\-\p2(y, a)dy, z= Гфі(л:, a)dx-\- Гф2(у, a)dy-\-b'
S 4] НЕЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА 263
, / dz dz\ п
Интегрируя это обыкновенное уравнение, получим г = Ф(и, а, Ь), где b — произвольная постоянная, или
z = Ф(ах -j-у, а, Ь)
— полный интеграл.
4) Если уравнение (5.28) имеет вид, напоминающий уравнение Клеро:
Z = px + qy-\-y(p, Я).
то, как нетрудно проверить непосредственной подстановкой, полным интегралом является
