Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление - Эльсгольц Л.Э.
Скачать (прямая ссылка):
16*
удовлетворяющее условиям
dz
при X = х10, z = ф0 (х2, х3.....х„), = Фі (х2, X3.....х„), ...
244 УРАВНЕНИЯ B ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ ПЕРВОГО ПОРЯДКА [ГЛ. 5
dx
dy
dz
P (х. у. z) Q (х, у, г) R (х. у, z) -
Поверхности, составленные из векторных линий, точнее, поверхности, целиком содержащие векторные линии, имеющие хотя бы одну общую точку с поверхностью, называются векторными поверхностями (рис. 5.1).
Очевидно, векторные поверхности можно получить, рассматривая множество точек, лежащих на произвольно выбранном, непрерывно зависящем от параметра, однопараметрическом семействе векторных линий. Векторная поверхность характеризуется тем, что вектор N, направленный по нормали к поверхности, в любой точке поверхности ортогонален вектору поля F:
(N-F) = O. (5.2)
Если векторная поверхность определяется уравнением z=f(x, у), то вектор
Ki dz . , Oz . , ^
N = -3— і H—^— J —к
дх ' ду '
Рис. 5.1.
и условие (5.2) принимает вид
Р(х, у, z)^L+ Q(x, у, Z) — = R(x, у; г).
(5.3)
Если векторная поверхность задается уравнением и(х, у, Z)=O
., ди . . ди . , ди , .г п,
и. следовательно, вектор N = -^-1 4- -jj) + -jr к, то уравнение (0.2)
приобретает вид
P (х, у, г) ^ + Q (X, у, Z) R (X, у, г) -J- = 0. (5.4)
Следовательно, для нахождения векторных поверхностей надо проинтегрировать квазилинейное уравнение (5.3) или линейное одно-
Рассмотрим непрерывное векторное поле
F==P(x, у, г) I+ Q(x. у, г)і + R(x, у, z)k.
где i, j, к — единичные векторы, направленные по осям координат.
Векторные линии этого поля (т. е. линии, касательная к которым в каждой точке имеет направление, совпадающее с направлением вектора F в той же точке) определяются из условия коллинеарности вектора t = і dx + j dy + k dz, направленного по касательной к искомым линиям, и вектора поля F:
ЛИНЕЙНЫЕ И КВАЗИЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ
245
родное уравнение (5.4) в зависимости от того, ищем ли мы уравнение искомых векторных поверхностей в явном или неявном виде.
Так как векторные поверхности могут быть составлены из векторных линий, то интегрирование уравнения (5.3) (или (5.4)) сводится к интегрированию системы обыкновенных дифференциальных уравнений векторных линий.
Составляем систему дифференциальных уравнений векторных линий
dx _ dy _ dz _ _
P (х, у, z)~~ Q (х, у, z)-~ R (х, у, г) • (O-D)
Пусть ф1 (х, у, Z) = C1 и ф2(х, У- z) —с2 — Два независимых первых интеграла системы (5.5). Выделяем из двухпараметрического семейства векторных линий %(х, у, z) = cv ф2(х, у, z) = c2, называемых характеристиками уравнения (5.3) (или (5.4)), произвольным способом однопараметрическое семейство, устанавливая какую-нибудь непрерывную зависимость CD(C1, C2) = 0 между параметрами C1 и с2. Исключая из системы
ф[(Х, у, Z) = C1, ф2(Х, у, Z) = C2, Q(C1, C2) = 0
параметры C1 и с2, получаем искомое уравнение векторных поверхностей:
Ф W1(Jf. у, г). ф2(х, у, г)) = 0, (5.6)
где Ф — произвольная функция. Тем самым найден интеграл квазилинейного уравнения (5.3), зависящий от произвольной функции.
Если требуется найти не произвольную векторную поверхность поля
F = P(x, у, г)і + Q(X, у, г)і +R(x, у, z)k,
а поверхность, проходящую через заданную линию, определяемую уравнениями O1 (х, у, z) = 0 и Ф2 (х, у, z) = 0, то функция Ф в (5.6) уже не будет произвольной, а определится путем исключения переменных х, у, z из системы уравнений
O1(X, у, z) = 0, Ф2(х, у, Z) = O1
ф^Х, у, Z) = C1, ф2(х, у, Z) = C2,
которые должны одновременно удовлетворяться в точках заданной линии Фх = 0 и Ф2 = 0, через которую мы проводим характеристики, определяемые уравнениями фх(х, у, z) = cv ф2(х, у, Z) = C2.
Заметим, что задача станет неопределенной, если заданная линия ФДх, у, z) = 0, Ф2(х, у, Z) = O является характеристикой, так как в этом случае эту линию можно включить в различные однопара-метрические семейства характеристик и тем самым получить различные интегральные поверхности, проходящие через эту линию.
246 УРАВНЕНИЯ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ ПЕРВОГО ПОРЯДКА [ГЛ. 5
Итак, интеграл квазилинейного уравнения
Р(х, у, г) U + Q(X, у, z)^ = R(x, у, z),
зависящий от произвольной функции, может быть получен следующим методом: интегрируем вспомогательную систему уравнений
dx _ dy _ dz
P (х, у, z) ~' Q (х, y,z)~ R (х, у, г)
и, найдя два независимых первых интеграла этой системы: Фі(х, у, Z) = C1, ф2(х, у, z) = c2,
получаем искомый интеграл в виде CD(tj)1(x, у, z), ф2(х, у, z)) = 0, где Ф— произвольная функция.
Уравнение интегральной поверхности того же квазилинейного уравнения, проходящей через заданную линию, определяемую уравнениями ФДх, у, z) = 0 и Ф2(х, у, z) = 0, можно найти, взяв упомянутую выше функцию Ф не произвольно, а определив функцию Ф(с1, C2) путем исключения х, у, z из уравнений
Ф^х, у, z) = 0, Ф2(х, у, z) = 0, Фі (х, у, г) = cv ф2(х, у, Z) = C2,
в результате чего получим уравнение Ф(с1, с2) = 0, и искомым интегралом будет Ф(і\(х, у, z), ф2(х, у, z)) = 0.
