Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление - Эльсгольц Л.Э.
Скачать (прямая ссылка):
Вариационное исчисление начало развиваться с 1696 года и оформилось в самостоятельную математическую дисциплину с собственными методами исследования после фундаментальных работ действительного члена Петербургской Академии наук Л. Эйлера (1707 —1783 г.), которого с полным основанием можно считать создателем вариационного исчисления.
Большое влияние на развитие вариационного исчисления оказали следующие три задачи:
Задача о брахистохроне. В 1696 году Иоганн Бернулли опубликовал письмо, в котором предлагал вниманию математиков задачу о линии быстрейшего ската—брахистохроне. В этой задаче требуется определить линию, соединяющую две заданные точки А к В, не лежащие на одной вертикальной прямой, и обладающую тем свойством, что материальная точка скатится по этой линии из точки А в точку В в кратчайшее время (рис. Б).
Рис. Б.
282
ВВЕДЕНИЕ
Легко видеть, что линией быстрейшего ската не будет прямая, соединяющая точки А и В, хотя она и является кратчайшим расстоянием между точками А и В, так как при движении по прямой скорость движения будет нарастать сравнительно медленно; если же мы возьмем кривую, более круто спускающуюся около точки А вниз, то хотя путь и удлинится, но значительная часть пути будет пройдена с большей скоростью. Решение задачи о брахистохроне было дано И. Бернулли, Я. Бернулли, Г. Лейбницем, И. Ньютоном и Г. Лопита-лем. Оказалось, что линией быстрейшего ската является циклоида (см. стр. 304—305).
Задача о геодезических линиях. Требуется определить линию наименьшей длины, соединяющую две заданные точки на некоторой поверхности ср(х, у, 2) = 0 (рис. В). Такие кратчайшие линии
дача была решена в 1698 году Я. Бернулли, но общий метод решения задач такого типа был дан лишь в работах Л. Эйлера и Ж. Лагранжа.
Изопериметрическая задача. Требуется найти замкнутую линию заданной длины I, ограничивающую максимальную площадь S. Такой линией, как было известно еще в древней Греции, является окружность. В этой задаче требуется определить экстремум функционала 5 при наличии своеобразного дополнительного условия—длина кривой должна быть постоянна, т. е. функционал
2
называются геодезическими. Мы имеем типичную вариационную задачу на так называемый связанный или условный экстремум. Необходимо найти минимум функционала
Рис. В.
причем функции у(х) и z (х) должны быть подчинены условию ф(х, у, z) = 0. Эта за-
сохраняет постоянное значение. Условия такого типа называются изо-периметрическими. Общие методы решения задач с изопериметричес-кими условиями были разработаны Л. Эйлером.
ВВЕДЕНИЕ 283
Ниже излагаются методы решения различных вариационных задач, причем в основном исследуются на экстремум следующие часто встречающиеся в приложениях функционалы:
J F(X, у (je), y'(x))dx,
X,
j F(x, у(х), у'(X).....y^(x))dx.
Го
JV(х, ух (X).....у ,¦Jx), у1(х).....y'n(x))dx,
D
в которых функции F заданы, а функции у (х), ух (х) ... уп (z), z (х, у) являются аргументами функционалов.
ГЛАВА 6
МЕТОД ВАРИАЦИЙ В ЗАДАЧАХ С НЕПОДВИЖНЫМИ ГРАНИЦАМИ
§ 1. Вариация и ее свойства
Методы решения вариационных задач, т. е. задач на исследование функционалов на максимум и минимум, весьма сходны с методами исследования на максимум и минимум функций. Поэтому целесообразно напомнить кратко теорию максимума и минимума функций и параллельно ввести аналогичные понятия и доказать сходные теоремы для функционалов.
1. Переменная величина z называется функцией переменной величины х, что обозначается так: z=f(x), если каждому значению X из некоторой области изменения X соответствует значение z, т. е. имеет место соответствие: числу X соответствует число Z.
Аналогично определяются и функции нескольких переменных.
1. Переменная величина v называется функционалом, зависящим от функции у(х), что обозначается так: v = v[y(x)], если каждой функции у(х) из некоторого класса функций у(х) соответствует значение V, т. е. имеет место соответствие: функции у(х) соответствует ЧИСЛО V.
Аналогично определяются и функционалы, зависящие от нескольких функций, и функционалы, зависящие от функций нескольких независимых переменных.
2. Приращением Ax аргумента X функции f (х) называется разность между двумя значениями этой переменной Ax = JC — X1. Если X — независимое перемен-
2. Приращением или вариацией by аргумента у(х) функционала v[y{x)) называется разность между двумя функциями Ьу = — у(х) — УїС*)- При этом предпо-
§ 1]
28S
ВАРИАЦИЯ и ЕЕ СВОЙСТВА
Последнее определение нуждается в уточнении и разъяснении, так как сейчас же возникает вопрос, какие изменения функции у (х), являющейся аргументом функционала, называются малыми или, что то же самое, какие кривые у=у(х) и у = у,(х) считаются мало отличающимися или близкими.
Можно считать близкими функции у (х) и уг (х) в том случае, если модуль их разности у(х)—у, (х) мал для всех значений х, для которых задаются функции у(х) и Уі (х), т. е. считать близкими кривые, близкие по ординатам.
Однако при таком определении близости кривых часто встречающиеся в приложениях функционалы вида
