Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление - Эльсгольц Л.Э.
Скачать (прямая ссылка):
дН дхп
( = 0
dv TT
dxt Tf
_дН ~~ dpi
dpi ' dt
= 1. 2.....
п)
(5.69)
dv _vi дН . dv
Tt"~ 2лРі~др~і~т~~Ь1'•
или
Следовательно, искомой интегральной поверхностью является х — е1, у = sel, г = se2t или г = ху.
I dz \2 I дг \2
Пример 2. Проинтегрировать уравнение \^х) \Ту~) ~^ при Усл0~
вии, что при X = 0, г = у, или в параметрической форме X0 = О, у0 = s, г0 = s. Определяем р0 (s) и q0 (s):
Po + ?' = 2' 1~<?о = 0,
откуда = 1, р0 = ± 1.
Интегрируем систему уравнений (5.59):
dx _ dy _ dz ^ dp _ dq _ lp~~~2q~~~~O~~~0~~' P=C1, q = c2, х = 2с^4-с3, у = 2с2/ + C4, г = 4/+C5;
пользуясь начальными условиями р0=±\, q0=\, х0 = 0, у0 = s, Z0 = s, получим р= ±\, q = \, x=±2t, y = 2/ + s, z = 4t4-s. Последние три уравнения и являются параметрическими уравнениями искомой интегральной поверхности. Исключая параметры t и s, получим г = у ± л:.
В задачах механики часто приходится решать задачу Кош и для уравнения
dv
— -A-H(t, хх, х2..... хп, рх, р2.....Pn) = 0, (5.68)
где P1 =-j—, являющегося частным случаем уравнения (5.56) (стр. 272).
Метод Коши, который в применении к уравнению (5.68) часто называется первым методом Якоб и, приводит нас к системе уравнений
278 УРАВНЕНИЯ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ ПЕРВОГО ПОРЯДКА [ГЛ. S
Система 2га уравнений (5.69) не содержит v и может быть проинтегрирована независимо от уравнения (5.70), после чего из уравнения (5.70) функция V находится квадратурой. В этом и заключается некоторое своеобразие применения метода Коши к уравнению (5.68). Кроме того, в рассматриваемом случае нет необходимости вводить в систему (5.50) вспомогательный параметр, так как эту роль с успехом может играть независимая переменная t.
Задачи к главе 5
i.-^-|? = o.
дх ду
дх 1 ду
о дг
3. X -т— = г.
ду
л 02 дг п
4. --у-г— =0.
дх J ду
Г 02 О
5. У fa=2 при X = 2, * = у.
дг dz IO
дг , dz п . . ,
7- уг 57 + ду~ = ° При х = °" Z = У
8. Найти поверхности, ортогональные поверхностям семейства z = аху.
9. Найти поверхности, ортогональные поверхностям семейства xyz = а.
3 дх 5 су
„. 0JL+0JL+0JL = O.
дх 1 ду 1 дг ди , ди . . Ou .
13. ^^у) =о.
ох2
14. -г--2х-г— = 0 при X = I1 2 = у2.
dx dy г '
15. Интегрируется ли уравнение
(y2 + z2 — x2)dx + xzdy + xydz = 0.
одним соотношением?
16. Проинтегрировать одним соотношением уравнение
(у + 3z2) dx + (X + у) dy + 6x2 dz = 0.
17. Найти полный интеграл уравнения
pq = х2у2.
ЗАДАЧИ К ГЛАВЕ 5 279
18. Найти полный интеграл уравнения
г = рх + ду + р3д3.
19. Найти полный интеграл уравнения
pq = Qz2.
20. Найти полный интеграл уравнения
р = sin q.
21. Найти поверхности, ортогональные векторным линиям векторного поля
F = (2ху — Зу г) і + (х2 — 3xz) j — Зху к.
22. Найти семейство поверхностей, ортогональных векторным линиям векторного поля
F = (2x-y)i-f (3y-*)j-f (x-2y)k.
23. Найти векторные линии, векторные поверхности.и поверхности, ортогональные векторным линиям поля
F = xi -4- yj — zk.
24. z = pq + 1 при у = 2, z = 2х 4- 1.
25. 2z = pq — Зху при х = 5, г = 15у.
26. 4г = р2 + q2 при X = 0, Z = у2.
ЧАСТЬ II ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
ВВЕДЕНИЕ
Наряду с задачами, в которых необходимо определить максимальные и минимальные значения некоторой функции Z= f(x), в задачах
физики нередко возникает необхо-
u(zo,y,l / y=yW
Рис. А.
А(х0, Уо) и В(х0, у0) (см. рис. А), на, если задано уравнение кривой
димость найти максимальные или минимальные значения величин особого рода, называемых функционалами.
Функционалами называются переменные величины, значения которых определяются выбором одной или нескольких функций.
Например, функционалом является длина I дуги плоской (или пространственной) кривой, соединяющей две заданные точки Величина I может быть вычисле-у = у (х); тогда
Пу (X)}= JYl + (y'fdx.
Площадь 5 некоторой поверхности также является функционалом, таь как она определяется выбором поверхности, т. е. выбором функции z(х, у), входящей в уравнение поверхности z = z(x, у). Как известно,
где D — проекция поверхности на плоскость Оху.
ВВЕДЕНИЕ
281
о
Моменты инерции, статические моменты, координаты центра тяжести некоторой однородной кривой или поверхности также являются функционалами, так как их значения определяются выбором кривой или поверхности, т. е. выбором функций, входящих в уравнение этой кривой или поверхности.
Во всех этих примерах мы имеем характерную для функционалов зависимость: функции (или вектор-функции) соответствует число, в то время как при задании функции г = f (х) числу соответствовало число.
Вариационное исчисление изучает метолы, позволяющие находить максимальные и минимальные значения функционалов. Задачи, в которых требуется исследовать функционал на максимум или минимум, называются вариационными задачами.
Многие законы механики и физики сводятся к утверждению, что некоторый функционал в рассматриваемом процессе должен достигать минимума или максимума. В такой формулировке эти законы носят название вариационных принципов механики или физики. К числу таких вариационных принципов или простейших следствий из них принадлежат: принцип наименьшего действия, закон сохранения энергии, закон сохранения импульса, закон сохранения количества движения, закон сохранения момента количества движения, различные вариационные принципы классической и релятивистской теории поля, принцип Ферма в оптике, принцип Кастилиано в теории упругости и т. д.
