Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление - Эльсгольц Л.Э.
Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление
Автор: Эльсгольц Л.Э.Издательство: Наука
Год издания: 1969
Страницы: 425
Читать: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131
Скачать:
Л.Э.Элъсголъц
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ И ВАРИАЦИОННОЕ
ИСЧИСЛЕНИЕ
ОГЛАВЛЕНИЕ
От редакторов серии 8
ЧАСТЬ I 8 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Введение 9
Глава 1. Дифференциальные уравнения первого порядка 15
§ 1. Уравнения первого порядка, разрешенные относительно производной 15
§ 2. Уравнения с разделяющимися переменными 19
§ 3. Уравнения, приводящиеся к уравнениям с разделяющимися 24 переменными
§ 4. Линейные уравнения первого порядка 27
§ 5. Уравнения в полных дифференциалах 32
§ 6. Теоремы существования и единственности решения уравнения 39 dy/dx=?x,y)
§ 7. Приближенные методы интегрирования уравнений первого порядка 61
§ 8. Простейшие типы уравнений, не разрешенных относительно 68 производной
§ 9. Теорема существования и единственности для дифференциальных 75 уравнений, не разрешенных относительно производной. Особые решения
Задачи к главе 1 82
Глава 2. Дифференциальные уравнения порядка выше первого 85
§ 1. Теорема существования и единственности для дифференциального 85
уравнения п-го порядка
§ 2. Простейшие случаи понижения порядка 87
§ 3. Линейные дифференциальные уравнения и-го порядка 93
§ 4. Линейные однородные уравнения с постоянными коэффициентами и 107
уравнения Эйлера
§ 5. Линейные неоднородные уравнения 113
§ 6. Линейные неоднородные уравнения с постоянными коэффициентами 124 и уравнения Эйлера
§ 7. Интегрирование дифференциальных уравнений при помощи рядов 137
§ 8. Метод малого параметра и его применение в теории квазилинейных 147 колебаний
§ 9. Понятие о краевых задачах 159
Задачи к главе 2 165
Глава 3. Системы дифференциальных уравнений 168
§ 1. Общие понятия 168
§ 2. Интегрирование системы дифференциальных уравнений путем 171 сведения к одному уравнению более высокого порядка
§ 3. Нахождение интегрируемых комбинаций 178
§ 4. Системы линейных дифференциальных уравнений 181
§ 5. Системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными 192 коэффициентами
§ 6. Приближенные методы интегрирования систем дифференциальных 199
уравнений и уравнений п-то порядка
Задачи к главе 3 201
Глава 4. Теория устойчивости 203
§ 1. Основные понятия 203
§ 2. Простейшие типы точек покоя 206
§ 3. Второй метод А. М. Ляпунова 215
§ 4. Исследование на устойчивость по первому приближению 221
§ 5. Признаки отрицательности действительных частей всех корней 227
многочлена
§ 6. Случай малого коэффициента при производной высшего порядка 230
§ 7. Устойчивость при постоянно действующих возмущениях 234
Задачи к главе 4 238
Глава 5. Уравнения в частных производных первого порядка 241
§ 1. Основные понятия 241
§ 2. Линейные и квазилинейные уравнения в частных производных 243 первого порядка
§ 3. Уравнения Пфаффа 255
§ 4. Нелинейные уравнения первого порядка 260
Задачи к главе 5 278
ЧАСТЬ II ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
Введение 280
Глава 6. Метод вариаций в задачах с неподвижными границами 284
§ 1. Вариация и ее свойства 284
§ 2. Уравнение Эйлера 292
305
§ 3. Функционалы вида jF(x,yl,y2,...,yn,y\,y\,...,y\)dx
Xq
§ 4. Функционалы, зависящие от производных более высокого порядка 308
§ 5. Функционалы, зависящие от функций нескольких независимых 312 переменных
§ 6. Вариационные задачи в параметрической форме 317
§ 7. Некоторые приложения 320
Задачи к главе 6 324
Глава 7. Вариационные задачи с подвижными границами и некоторые 327 другие задачи
§ 1. Простейшая задача с подвижными границами 327
§ 2. Задача с подвижными границами для функционалов вида 334
X1
\F{x,y,z,y\z')dx
Xq
§ 3. Экстремали с угловыми точками 338
§ 4. Односторонние вариации 346
Задача к главе 7 349
Глава 8. Достаточные условия экстремума 351
§ 1. Поле экстремалей 351
§ 2. Функция Е(х, у,р,у^ 357
§ 3. Преобразование уравнений Эйлера к каноническому виду 368
Задачи к главе 8 373
Глава 9. Вариационные задачи на условный экстремум 375
§ 1. Связи вида (р(х,у1ъу2,...,упУ=0 375
§ 2. Связи вида <р(х,у1ъу2,...,уп,у\ъу2,-,Уп)=0 382
§ 3. Изопериметрические задачи 385
Задачи к главе 9 393
Глава 10. Прямые методы в вариационных задачах 394
§ 1. Прямые методы 394
§ 2. Конечно-разностный метод Эйлера 395
§ 3. Метод Ритца 397
§ 4. Метод Канторовича 406
Задачи к главе 10 412
Ответы и указания к задачам 414
Рекомендуемая литература 421
Предметный указатель 422
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ Асимптотически устойчивое решение 327—350
204 Вариационное исчисление 281
Бернулли уравнение 30 --, основная лемма 295
Бесселя уравнение 139 Вариационный принцип 281, 320 — функции 141—143 Вариация 284, 288, 289, 309, 313 Бигармоническое уравнение 317 Вейерштрасса функция 359 Близость кривых 285, 286 Векторная линия 245 Брахистохрона 281, 304, 332, 364 — поверхность 244 Вариации постоянной метод 28 Взаимности принцип 388 Вариационная задача 281 Влияния функция 123, 161 — 165 --в параметрической форме Вронского определитель 97, 185